Nullstellen des Polynoms mit f(x)=0,25x^4-2x^2+2

Question

Die Funktion ist f(x) = 0,25x^4-2x^2+2

Wie kann ich daraus jetzt die Nullstellen bestimmen?Ich weiß schon,dass die Funktion keine hat,und ich x^2=z und x^4=z^2 setzen muss.Habe es auch schon in die pq-Formel eingesetzt und komme nicht weiter.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

0,25x⁴-2x²+2 = 0

0.25z^2 - 2z + 2 = 0    | * 4

z^2 - 8z + 8 = 0

Nun sollte das mit der pq-Formel gehen.

Vergiss die Rücksubstitution nicht.

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.25x%5E4-2x%5E2%2B2++ 

Comments

Danke,

ich habe jetzt z1/2= 4+- Wurzel aus 8

Was muss ich jetzt machen?

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-Wolfgang- hat schon fertig gerechnet.

Statt 2√2 kannst du auch √8 hinschreiben (ist einfach nicht so "schön").

Answer 2

0,25x⁴-2x²+2 = 0 | • 4

x⁴ - 8x² + 8 = 0

Setze z := x²

z² - 8z + 8 = 0

pq-Formel ->  z = 4 - 2·√2 ∨ z = 2·√2 + 4

also x² =  4 - 2·√2 oder x² = 2·√2 + 4

-> x = ± √( 4 - 2·√2) oder x = ± √(2·√2 + 4)

[ x ≈ ± 1.082392200 oder x ≈ ± 2.613125929 ]

Answer 3

Gleichung mal 4 und anschl. Substitution z=x^2 ergibt:

z^2 -8z+8=0 -->pq Formel:

z1,2= 4±√16-8

z1,2= 4±√8

Resubstitution:

x^2=z

4 +√8= x1.2^2

4 -√8= x3.4^2

nun noch die Wurzel ziehen und Du bekommst 4 Nullstellen

x1,2=±2,61

x3,4=±1,08

Comments

\(z\) vergessen in Zeile 3?

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ja klar, danke , habe es korrigiert.

Answer 4

Alternativ ohne Substitution:$$\tfrac14x^4-2x^2+2=0$$$$\left(\tfrac12x^2-2\right)^2-2=0$$$$\left(\tfrac12x^2-2\right)^2=2$$$$\tfrac12x_{1;2}^2-2=\pm\sqrt2$$$$x_{1;2}^2=2\cdot(2\pm\sqrt2)$$$$x_{1;2;3;4}=\pm\sqrt{2\cdot(2\pm\sqrt2)}$$