Gerade k aufstellen mit 1. k verläuft durch den Eckpunkt B des Dreicks ABC, … A(3,7,1) ; B (1,8,4) und C (2,3,4)

Question

die Aufgabe lautet :

Eine Gerade k soll folgende Bedingungen erfüllen:

1. k verläuft durch den Eckpunkt B  des Dreicks ABC,

2. k schneidet die Dreiecksseite AC in einem Punkt D,

3. k verläuft durch einen Punkt Q der Geraden q: x= (0,0,7) + s(3,4,-5) , s aus reelle Zahlen

(1) Zeigen Sie, dass die Gerade q in der Ebene liegt.

(2) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden k.

E: 2x1 + x2 + 2x3 = 14

A(3,7,1) ; B (1,8,4) und C (2,3,4)

 

Bei der 1. Aufgabe muss ich die Gerade q in die Ebene E einsetzen und nach s auflösen und wenn s überall (1. , 2. und 3.Gleichung) stimmt, dann liegt q in der Ebene E oder?

Answer 1

Ja.

g: [0, 0, 7] + s·[3, 4, -5] = [3·s, 4·s, 7 - 5·s]

E: 2·x + y + 2·z = 14 <-- hier wird die gerade eingesetzt
2·(3·s) + (4·s) + 2·(7 - 5·s) = 14
14 = 14

Das ist für alle s erfüllt und damit liegt q in der Ebene.

Comments

ok gut !. Dann habe ich das richtig ;)

Jedoch wie geht es dann bei der 2. Aufgabe weiter ?

Da habe ich keine Ahnung. Können Sie mir nur die Ansätze sagen? Also Lösung brauche ich noch nicht

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Q = [3·r, 4·r, 7 - 5·r]

Hieraus kann ich jetzt die Gerade k durch B und Q bilden

k: B + s * BQ = [1, 8, 4] + s * [3·r - 1, 4·r - 8, 3 - 5·r] = [3·r·s - s + 1, 4·r·s - 8·s + 8, - 5·r·s + 3·s + 4]

D = [3, 7, 1] + t·[2 - 3, 3 - 7, 4 - 1] = [3 - t, 7 - 4·t, 3·t + 1]

Nun muss k auch durch D gehen. Also kann ich k und D gleichsetzen.

[3·r·s - s + 1, 4·r·s - 8·s + 8, - 5·r·s + 3·s + 4] = [3 - t, 7 - 4·t, 3·t + 1]

Das LGS liefert die Lösung r = 1 ∧ s = 3/4 ∧ t = 1/2

Ich kann also für r in dier Geradengleichung für k die 1 einsetzen.

k: B + s * BQ = [3·1·s - s + 1, 4·1·s - 8·s + 8, - 5·1·s + 3·s + 4]
= [2·s + 1, 8 - 4·s, 4 - 2·s]
= [1, 8, 4] + s * [2, -4, -2]

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k : x= = [1, 8, 4] + s * [2, -4, -2]

Das ist jetzt die Gleichung?

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Ja. ich hoffe schon. Deine Aufgabe ist es jetzt das nachzuvollziehen und ggf. von mir gemachte Fehler zu finden.

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Bitte um Hilfe :

 

[3·r·s - s + 1, 4·r·s - 8·s + 8, - 5·r·s + 3·s + 4] = [3 - t, 7 - 4·t, 3·t + 1]

Das LGS liefert die Lösung r = 1 ∧ s = 3/4 ∧ t = 1/2

WIe kommen sie auf  r = 1 ∧ s = 3/4 ∧ t = 1/2 ?

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Ich habe die Zahlen auf eine seite und die Buchstaben auf die eine seite gebracht . Dann habe ich :

( 3rs - s + t | 4rs - 8s + 4t | -5rs + 3s - 3t ) = ( 2 | -1| 4 )

Weiter komme ich nicht

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3·r·s - s + t = 2
4·r·s - 8·s + 4·t = -1
- 5·r·s + 3·s - 3·t = -3

4*I - 3*II, 5*I + 3*III

20·s - 8·t = 11
4·s - 4·t = 1

I - 5*II

12t = 6
t = 0.5

4·s - 4·0.5 = 1
s = 3/4

3·r·0.75 - 0.75 + 0.5 = 2
r = 1