Binomische Formel sagt \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \).
Ziel der quadratischen Ergänzung ist, die binomische Formel auf einen Term wie \( x^2+6x-16 \) so anzuwenden, dass nicht gleichzeitig \( x^2 \) und \( x \) vorkommen. Problem ist, der Term sieht so ähnlich aus wie \( a^2+2ab+b^2 \), passt aber nicht ganz. Um ihn passend zu machen, wird die quadratische Ergänzung verwendet.
Klar ist: \( x^2 \) in deinem Term entspricht \( a^2 \) in der binomischen Formel. Das \( x \) entspricht also dem \( a \).
Das \( 6x \) in deinem Term muss dann dem \( 2ab \) in der binomischen Formel entsprechen. Da wir bereits festgestellt haben, dass das \( x \) dem \( a \) entspricht, muss \( 2b \) der \( 6 \) entsprechen, also \( b=3 \) sein.
In der binomischen Formel kommt noch der Summand \( b^2 \) vor. Das wäre in dem gegebenen Term \( 3^2 \). Um nun aus \( x^2+6x-16 \) einen gleichwertigen Term zu basteln, in dem auch \( 3^2 \) vorkommt, wird \( 3^2 \) addiert und gleich wieder subtrahiert. Das liefert \( x^2+6x+3^2-3^2+16 \). Die ersten drei Summanden entsprechen jetzt genau der rechten Seite der binomischen Formel und können deshalb zu \( (x+3)^2 \) zusammengefasst werden. Die zwei verbleibenden Summanden müssen noch addiert werden und man bekommt:
\( x^2+6x-16 \\ = x^2+6x+3^2-3^2-16 \\ = (x+3)^2-3^2-16 \\ = (x+3)^2-25\)
Nützlich ist das beim Lösen von quadratischen Gleichungen und bei Umformung von Normalform in Scheitelpunktform. Hier ein Beispiel, wie die quadratische Ergänzung zum Lösen einer quadratischen Gleichung benutzt wird:
\( x^2+6x-16 = 0 \\ \iff (x+3)^2-25 = 0 \\ \iff(x+3)^2 = 25 \\ \iff x+3=\pm 5 \\\iff x=2 \vee x=-8 \)
