Induktionsbeweis bei Reihe: a_(n+1)-a_(n) = b-a/(-3)^n beweisen.

Question

die Folge (an)neN

rekursiv gegeben durch

a₀ := a,   a₁:= b,    a_n := 1/3(2a_n-1 + a_n-2) für n grösser als 2

Beweise, dass die Folge (an)neN konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

Hinweis: Finde eine Formel für a_{n+ 1} —a_.n durch Induktion und benutze den Teleskop-

Trick.$

Das war die Aufgabenstellung. Jetzt habe ich aber ein Problem beim Induktionsbeweis:

a_n+1-a_n = b-a/(-3)ⁿ  ist die Formel aber wie kann ich das mit Induktion beweisen?

Comments

So wie sonst auch. Wo hapert es denn bei der Induktion?

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Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/272173/teleskop-trick-fur-folge-grenzwert-finden

Kann es sein, dass du die Klammer um a-b unterschlagen hast?

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Danke für den Zusammenhang Lu. Es war schon seltam, dass die Formel bekannt war, wobei ich die fehlenden Klammern mir sogar eingebildet habe. Ich glaube ich muss mal weniger Fragen hier lesen :D.

Answer 1

Ich beweise zunächst mittels Induktion, dass

$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { b-a }{ { \left( -3 \right)  }^{ n } } $$

gilt.

Induktionsanfang:

$$ n=0:\quad { a }_{ 1 }-{ a }_{ 0 }=b-a=\frac { b-a }{ { \left( -3 \right)  }^{ 0 } } $$

$$ n=1:\quad { a }_{ 2 }-{ a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( 2{ a }_{ 1 }+{ a }_{ 0 } \right) -{ a }_{ 1 }=\frac { { a }_{ 1 }-{ a }_{ 0 } }{ -3 } =\frac { b-a }{ { \left( -3 \right)  }^{ 1 } } $$

Induktionsschritt n → n+1:

Aus

$$ { a }_{ n }=\frac { 1 }{ 3 } \left( 2{ a }_{ n-1 }+{ a }_{ n-2 } \right) $$

folgt:

$$ { a }_{ n+2 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( 2{ a }_{ n+1 }+{ a }_{ n } \right) \quad \quad \quad | - {a}_{n+1} $$

$$ { a }_{ n+2 }-{ a }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( 2{ a }_{ n+1 }+{ a }_{ n } \right) -{ a }_{ n+1 }=\frac { { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n } }{ -3 } $$

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

$$ \quad \quad \quad { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { b-a }{ { \left( -3 \right)  }^{ n } } $$

Wird jetzt in der vorletzten Gleichung der Ausdruck a_n+1 - a_n entsprechend ersetzt, erhält man:

$$ { a }_{ n+2 }-{ a }_{ n+1 }=\frac { b-a }{ { \left( -3 \right)  }^{ n+1 } } $$

w.z.b.w.

Zum Teleskoptrick:

$$ { a }_{ n }={ a }_{ n }+\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i } } -\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i } } $$

$$ { a }_{ n }={ a }_{ 0 }+\sum _{ i=1 }^{ n }{ { a }_{ i } } -\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i } } $$

$$ { a }_{ n }={ a }_{ 0 }+\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i+1 } } -\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { a }_{ i } } $$

$$ { a }_{ n }={ a }_{ 0 }+\sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ \left( { a }_{ i+1 }-{ a }_{ i } \right)  } $$

Wird nun a_i+1 - a_i mittels oben bewiesener Gleichung ersetzt, erhält man:

$$ { a }_{ n }=a+\left( b-a \right) \sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ i } } $$

Die Summe bildet die (n-1)-te Partialsumme einer geometrischen Reihe. Für sie gilt:

$$ \quad \quad \quad \sum _{ i=0 }^{ n-1 }{ { \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ i } } =\frac { 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } }{ 1-\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  } =\frac { 3 }{ 4 } \left[ 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } \right] $$

Somit erhält man folgende explizite Darstellung der Folge:

$$ { a }_{ n }=a+\frac { 3\left( b-a \right)  }{ 4 } \left[ 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ n } \right] $$

Bildet man den Grenzwert für n→∝, so geht (-1/3)ⁿ gegen Null und man erhält:

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { a }_{ n } } =a+\frac { 3\left( b-a \right)  }{ 4 } =\frac { a+3b }{ 4 } $$