Tangentengleichung K von f mit f(x) = e^{0,5x+1}

Question

ich komme momentan bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich weiß nicht ein Mal wie ich anfangen soll:

"Bestimmen Sie m ∈ ℝ so, dass die Gerade g mit der Gleichung y = mx Tangente an das Schaubild K von f mit f(x) = e^{0,5x+1} ; x ∈ ℝ ist. Begründen Sie, dass durch jeden Punkt der x-Achse genau eine Tangente an K verläuft."

Danke

Answer 1

I: $$ g(x)= m \cdot x      $$ II:$$ f(x) = e^{\frac x2+1} $$

Tangenten-Bedingung A:
$$ g(x)= f(x) $$
Tangenten-Bedingung B:
$$ g'(x)= f'(x) $$

Comments

Ohne Näherung lösbar:

Tangenten-Bedingung A:
$$ m \cdot x =  e^{\frac x2+1} $$
Tangenten-Bedingung B:
$$ m =  \frac 12 \cdot e^{\frac x2+1} $$
$$ 2 \cdot m =   e^{\frac x2+1} $$
Einsetzen in Bedingung A:
$$ m \cdot x =  2 \cdot m $$

Answer 2

Normalerweise wäre der Ansatz, $$mx=e^{0,5x+1}$$ zu setzen und das m zu suchen, für dass es genau eine Lösung gibt. Diese Gleichung ist aber nicht elementar lösbar.

Mache es deshalb so: Berechne die Gleichung der Tangente an f(x) im Punkt   $$(u|e^{0,5u+1})$$ .

Diese Gleichung wird neben einem Vielfachen von x auch einen absoluten (nur von u abhängigen) Anteil enthalten. Dort ist u so zu wählen, dass dieser absolute Anteil 0 wird.

Mit dem so gewonnenen u bekommst du dann den Anstieg m.

Answer 3

Hier meine Berechnungen

Eine Gerade die nicht die x-Achse schneidet hat die Steigung 0.
Die Steigung von f ( x )  oder f ´( x ) ist aufgrund der e-Funktion
stets ungleich 0.
Eine Tangente mit der Steigung f ´( x ) muß daher die x-Achse schneiden.