E- Funktionen ,Tangentengleichung bestimmen

Question

die Aufgabe lautet: Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit f(x)=0,5 e^x im Punkt P(1/f(1)).

Ich habe die Steigung, den y-Wert und b berechnet und als Lösungen habe ich 0,5 ( y-Wer), 0,5 e¹  (Steigung) und -0,86 (b-Wert) heraus.Dementsprechend wäre die Tangentengleichung : y=0,5e¹ • x - 0,86

Aber in meinem Lösungsheft steht da t(x) =0,5 • e • x.   Jetzt ist meine Frage,wie man auf das Ergebnis gekommen ist.

Lg

Answer 1

t(x) = m*x+b

m= f '(1)= 0,5*e

f(1)= 0,5e

0,5e= 0,5e*1+b

b= 0

t(x) = 0,5e*x

Answer 2

Es muss gelten

t(x) = f'(x) * x + b = (  0.5 * e^x ) * x  + b

und wegen

t(1) = f(1)

t(1) = 0.5 * e + b

f(1) = 0.5 * e

folgt

b = 0

Answer 3

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{2}e^x\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}e^x=f(x)$$Die Gleichung einer Tangente an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet ganz allgemein:

$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$In deinem Fall ist \(x_0=1\) und \(f(x_0)=f'(x_0)=\frac{1}{2}e^1=\frac{e}{2}\). Also lautet die Tangente:

$$t_1(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)=\frac{e}{2}+\frac{e}{2}(x-1)=\frac{e}{2}+\frac{e}{2}x-\frac{e}{2}=\frac{e}{2}x$$Die Lösung aus dem Lösungsheft ist richtig.

Answer 4

f ( x ) = 0,5 e^x
f ´( x ) = 0.5 * e^x

t ( x ) = f ´( x ) * x + b
t ´( x ) = 0.5 * e^x * x + b

Berührpunkt
f ( x ) = t ( x ) | Koordinaten
f ´( x ) = t ´( x ) | Steigung

f ( 1 ) = 0.5 * e^x = 0.5 * e = t ( 1 )
t ´( 1 ) = 0.5 * e^x = 0.5 * e

t ( 1 ) = 0.5 * e * 1 + b = 0.5 * e  => b = 0

t ( x ) = 0.5 * e * x