Beweise dass folge monoton wächst und gegen 1/B konvergiert

Question

Es sei B=Beta > 0 eine positive reelle Zahl. Ferner sei a₀ 6element von

(0, 2 / B) und definiere die Folge (an) rekursiv durch

a_n+1= a_n(2 — Ba_n) für n element von N

Beweise, dass die Folge (a_n) monoton wächst für n grösser gleich 2 und gegen 1/ B konvergiert.

Zeige dabei, dass die Folge (an) quadratisch gegen 1/B konvergiert, d. h. es gilt die

Abschätzung |a_n+1 — 1/B| kleiner gleich   C | a_n— 1/B | ^2 für alle n e N, wobei C > 0 eine geeignete

Konstante ist.

Comments

Nach diesem Algorithmus dividieren Computer, wenn die Division nicht in Hardware implementiert ist. Ich nehme an, das interessiert Dich gar nicht, mag aber ein Hinweis sein, um Lösungen zu googlen.

Answer 1

zum 1. Teil:

Das Produkt a_n(2 — Ba_n) ist größer als a_n wenn 2 — Ba_n>1 gilt

Das bedeutet a_n < 1/B

D.h. solange a_n < 1/B ist, ist die Folge monoton steigend.

Und andererseits kann man für jedes neue Folgenglied
prüfen     a_n+1 < 1/B
      a_n(2 — Ba_n) <  1/B
        Ba_n(2 — Ba_n) <  1
  2Ba_n  — (Ba_n)^2   <  1
       — (Ba_n)^2   + 2Ba_n   - 1 < 0
            (Ba_n)^2   - 2Ba_n   + 1  > 0
            ( Ba_n   -1 ) ^2 > 0
Und das gilt immer ( Quadrate sind immer ≥ 0 )
solange nicht a_n = 1/B

Also ist die Folge monotonwachsend und nach oben beschränkt und hat demnach
einen GW g.
Für den gilt dann nach der Rekursion  a_n+1 = a_n(2 — Ba_n)
                       g = g* ( 2-B*g )
und da g wegen der Monotonie 0 ist
                    1 =  2-B*g
also g = 1/B

Comments

Warum ist g wegen der Monotonie 0?

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Ich meinte natürlich g>0.

Deshalb kann man es wegkürzen.

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Ist denn g>0 bereits gezeigt? Sollte dazu nicht noch explizit a₁>0 nachgewiesen werden müssen?

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Ja klar. Aber es ist ao zwischen 0,2 und B, also positiv.