!
Ich habe eine Frage bezüglich der Berechnung eines Winkels zwischen drei Eckpunkten eines Vierecks.
Die Aufgabe lautet: Ein Viereck hat die Eckpunkte O (0/0/0), P (2/3/5), Q (5/5/6) und R (1/4/9). Berechnen sie die Größen der Winkel ROP, OPQ, PQR und ORQ.
Der Rechenweg ist mir hierbei klar: Ich muss mithilfe des Skalarprodukts den Winkel berechnen.
Sprich: cos (α)= (Vektor A * Vektor B)/(Betrag von A * Betrag von B)
Mit dem Ergebnis dann einfach mithilfe von cos^-1 die Gradzahl bestimmen... schön und gut soweit.
Bei den Winkeln ROP, OPQ und ORQ ist das auch soweit kein Problem, da wir ja dort im Prinzip nur den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen müssen (O ist ja der Ursprung und somit rechnen wir nur mit den Punkten R und P am Beispiel des Winkels ROP). Der Winkel PQR stellt jedoch ein Problem für mich dar:
Zunächst berechne ich (um den Winkel PQR zu bestimmen) den Verbindungsvektor zwischen P und Q. Das ist in diesem Falle (3/2/1). Als nächstes berechne ich den Verbindungsvektor zwischen Q und R; also: (-4/-1/3). Nun rechne ich die beiden Beträge der Vektoren aus.
In diesem Falle: Betrag PQ = √14; Betrag QR = √26
Soweit so gut...das ganze dann in die Formel des Skalarprodukts einsetzen:
cos (α) = (PQ * QR)/(√14 * √26) = (-11)/(√14 * √26)
= -0,57655...
und das ganze dann in cos^-1:
cos^-1 (-0,57655) = 125,21 °
Problem ist: Die Lösung soll 54,79 ° (laut Lösungsheft) betragen. Wenn ich nun jedoch 180 Grad minus die ausgerechneten 125,21 ° rechne, komme ich auf die richtige Lösung. Es scheint also, als hätte ich den Außenwinkel und nicht den Innenwinkel berechnet.
Frage ist also: Wie kann ich an diesem Beispiel sofort ohne Zweifel auf den hier gesuchten Innenwinkel kommen? Ich bin ja aus welchem Grunde auch immer auf den anderen Winkel (125,21 °) gekommen, was ich möglichst in der bald bevorstehenden Klausur vermeiden möchte.
Wäre sehr nett wenn jemand zeitnah helfen könne :)
LG
Tobias
