Untersuchen Sie von welcher Seite sich die Graphen der Asymptote nähern

Question

ha(x)= (ax^2+3) / (x+1)     a≠-3

Hab als erstes eine Polynomdivision durchgeführt und bin dann auf ha(x)=ax-a +(a+3)/(x+1) gekommen.

Ich hätte nun eine Fallunterscheidung für a<0 und a>0 gemacht, bin mir aber unsicher.

Was muss ich bei dieser Aufgabe nun machen?

LG

Comments

Wenn du zu Beginn x^3 haben solltest (schlecht zu lesen, was da im Exponenten steht), muss nach derPolynomdivision zuerst ax^2 kommen. Es kann somit keine schräge Asymptote geben (ausser ihr lasst Parabeln als Asymptoten zu).

Ich sehe da nur eine vertikale Asymptote bei x = - 1, falls sich (x+1) nicht wegkürzen lässt.

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Das sollte x² heißen. Ist schlecht lesbar ohne Verwendung des Formeleditors.

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EDIT. Ich mache da mal ein ^2 hin mit Hilfe von ^ 2    . Wird vielleicht etwas grösser.

Answer 1

Fallunterscheidung ist gut.

Wie sieht der Graph von ax-a für negative a aus? Fällt linear.

Wie sieht der Graph von (a+3)/(x+1) für negative a aus? Negativ, monoton steigend mit Grenzwert 0 für x→∞.

Ist dann ax-a + (a+3)/(x+1) für negative a kleiner oder größer als ax-a? Kleiner.

Gibt's einen Unterschied zwischen x→∞ und x→-∞? Ja.

Comments

Gut, dann war ich ja schon mal nicht auf dem Holzweg^^.

1. Fall: a<0

x→∞ : -∞          Annäherung von unten

x→-∞:+∞          Annäherung von oben

2. Fall: a>0

x→∞ :+∞         Annäherung von oben

x→-∞: -∞        Annäherung von unten

Passt das?

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Stimmt so.           

Answer 2

ha(x) = ax-a  + (a+3)/(x+1) 

f_A(x) = ax - a  Asymtotenfunktion

Restfunktion  R(x) = (a+3) / (x+1)

R(x) = ha(x) - f_A(x)

Betrachte nun den Vorzeichenverlauf von R(x)  [Fallunterscheidung für a]

R(x) > 0 -> Graph oberhalb Asymptote

R(x) < 0 -> Graph unterhalb Asymptote

R(x) = 0 Schnittstelle Graph mit Asymptote

Fragestellung übererfüllt.