Quadratische Betragsungleichung |x²-4x+2|≥2 - Lösungsmenge?

Question

Hallo

Gegeben ist |x²-4x+2|≥2

Ich habe das schon unterteilt gemäß der Regel |a| > x -> a>x ∪ a<-x in:

x²-4x+2≥2 = x≥4

und

x²-4x+2≤-2 = (x-2)²≤0

Und somit die Intervalle [4,∞) und [2,2] herausbekommen? Geht das so?

Nun findet sich aber, durch bloßes Hinsehen zu erkennen, noch ein weiterer Intervall nähmlich (∞,0]

Was muss ich wie umformen um darauf zu kommen?

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx²-4x%2B2%7C≥2

|x²-4x+2|≥2

Das Intervall  (-∞,0] hast du offensichtlich nicht gefunden. Der Rest stimmt.

| x^2 - 4x + 4 - 2| ≥ 2

| (x-2)^2 - 2| ≥ 2

1. Fall 

(x-2)^2 - 2 ≥ 2

(x-2)^2 ≥ 4

x-2 ≥ 2 oder x-2 ≤ -2

<==> x≥4 oder x≤0. 

2. Fall 

(x-2)^2 - 2 ≤ - 2

(x-2)^2 ≤ 0

<==> x=2. 

Comments

Hallox-2 ≥ 2 oder x-2 ≤ -2Wie geht das?

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sind die Resultate des ersten Falls bedingt durch (x-2)² ≥ 4 ≡ |x-2| ≥ 2 ?

oder durch (x-2)²≥ 4 -> x-2 ≥ 4 und -(x-2) ≥ 2 ?

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Wenn man eine Wurzel aus einem Quadrat zieht, muss man immer mit ± rechnen.

Hier dann noch kurz überlegen, auf welcher Seite von +2 und - 2 der quadrierte Term in der Klammer liegen muss. 

(x-2)² ≥ 4       |   √ 

x-2 ≥ 2 oder x-2 ≤ -2