a) Es sei \( \beta>0 . \) Bestimmen Sie alle möglichen relativen Extrema von
$$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2} x_{2}^{3}\left(x_{3}-1\right), \quad x_{i}>0, i=1,2,3 $$
unter der Nebenbedingung
$$ x_{1}+x_{2}+x_{3}=\beta+1 $$
b) Es sei \( x^{*}(\beta) \in \mathbb{R}^{3} \) derjenige stationäre Punkt der Lagrangefunktion des Optimierungsproblems aus a), welcher \( x_{3}^{*}(\beta) \geq 1 \) für \( \beta>0 \) erfüllt. Stellen Sie die Optimalwertfunktion \( \Phi(\beta) \) für \( x^{*}(\beta), \beta>0 \) auf und berechnen Sie deren Ableitung.
Aufgabenteil a stellt kein Problem da, der gesuchte Punkt ist P(β/3,β/2,β/6+1).
Bei Aufgabenteil b weiß ich nicht wie ich vorgehen muss ? Wie stelle ich die Optimalwertfunktion auf ?
Google spuckt dazu etwas mit Envelope-Theorem aus, jedoch weiß ich nicht genau wie ich dieses anwende.
Hat jemand einen einfach verständlichen Lösungsweg dazu ?
