Aloha :)
Ohne Randbedingung muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion gleich Null sein. Wenn es konstante(!) Nebenbedingungen gibt, hat uns Lagrange gezeigt, dass in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein muss.
Hier haben wir nur eine konstante Nebenbedingung$$f(x;y;z)=5x^2+y^2+8z\quad;\quad g(x;y;z)=x^2+y^2+z^2-1=0=\text{const}$$sodass die Extrema folgende notwendige Voraussetzung erfüllen müssen:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y;z)\implies\begin{pmatrix}10x\\2y\\8\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}$$
Aus der Gleichung für die 1-te Koordinate \((10x=2\lambda x)\) folgt:\(\quad\green{\lambda=5\;\lor\;x=0}\)
Aus der Gleichung für die 2-te Koordinate \((2y=2\lambda y)\) folgt:\(\;\;\pink{\quad\lambda=1\;\lor\;y=0}\)
Aus der Gleichung für die 3-te Koordinate \((8=2\,\lambda z)\) folgt:\(\quad\quad {\color{blue}z=\frac4\lambda}\ne0\)
Bei einem Extremum muss also gelten:$$\left(\green{\lambda=5}\land \pink{y=0}\land {\color{blue}z=\frac45}\right)\lor\cancel{\left(\green{x=0}\land\pink{\lambda=1}\land {\color{blue}z=4}\right)}\lor\left(\green{x=0}\land \pink{y=0}\land {\color{blue}z=\frac4\lambda}\right)$$
Die durchgestrichene Alternative kann die Nebenbedingung \(x^2+y^2+z^2=1\) nicht erfüllen. Setzen wir die erste und die letzte Alternative in die Nebenbedingung ein, erhalten wir als Kandidaten für Extrema:$$K_{1;2}\left(\pm\frac35\bigg|0\bigg|\frac45\right)\quad;\quad K_{3;4}=(0|0|\pm1)$$
Da du die absoluten Extrema bestimmen sollst, setzen wir diese Kandidaten in die Funktion \(f\) ein und finden:$$f\left(\pm\frac35\bigg|0\bigg|\frac45\right)=\frac{41}{5}=8,2\quad;\quad f(0;0;-1)=-8\quad;\quad f(0;0;1)=8$$
Das absolute Minimum liegt bei \((0;0;-1)\).
Das absolute Maximum wird an den beiden Punkten \(\left(\pm\frac35\big|0\big|\frac45\right)\) erreicht.
