Multiplikation beweisen

Question

Sei m ∈ ℤ. Weiter seien a; a'; b; b' ∈ ℤ, so dass a ≅ a' mod m und b ≅ b' mod m. Zeigen

Sie, dass dann auch ab ≅ a'b' mod m gelten muss. Man sagt auch, dass die Multiplikation in ℤ=/mℤ wohldefiniert ist.

mir fällt leider kein Ansatz an, wie ich das zu lösen habe. Ich weiß nur, dass gilt:   a ≅ a' mod m = m | a-a'. Könnte mir jemand bitte helfen?

 

Answer 1

 a ≅ a' mod m = m | a-a'   ist doch ein guter Anfang und

 b ≅ b' mod m = m | b-b'    dann gilt auch

m |  b*( a-a'  )  und   m | a' *( b-b' )      

m |  ab-ba'    und   m | a'b -  a'b'  

und wenn m zwei Zahlen teilt, dann auch deren Summe

m |  ab-ba'    + a'b -  a'b' 

also m |  ab -  a'b'  

und das heißt ja gerade  ab ≅ a'b' mod m.

q.e.d.