Verständnis zu einem Beweisvorgang:

Question

alles, was mir an dem Beweis unklar ist, habe ich in rot markiert (Nur der Induktionsschritt),

Sei n∈ℕ und es gelte |P(A)|=2ⁿ für alle Mengen A mit |A|=n.
Sei B eine Menge mit |B|=n+1. Ferner sei b∈B, P₀={S∈P(B) | b∉S} und P_b ={S∈P(B) | b∈S}.
Dadurch ist P(B) = P₀ ⊍ P_b (insb. P₀∩P_b=∅, also |P(B)| = |P₀|+|P_b|).
Es gilt dann P₀=P(B\{b}), also |P₀|=|P(B\{b})|=2ⁿ, da |B\{b}| = n ist.
Außerdem gilt P_b={S⊍{b} | S∈P₀}, also |P_b|=|P₀|=2ⁿ.
Damit ist |P(B)| = |P₀| + |P_b| = 2ⁿ+2ⁿ=2·2ⁿ=2ⁿ⁺¹.

Erster roter Teil: Warum wurde P₀ und P_b gebildet, um dies zu Beweisen?
Soll P₀ die Zahl "0" beim Induktionsschritt sein?

Zweiter roter Teil: Wieso folgt |P_b|=|P₀| ?

Ziel ist es "Es sei A eine nicht leere endliche Menge (Meine Erkenntnis: also gibt es mindestens ein x in der Menge A). Bestimmen Sie die Mächtigkeit ihrer Potenzmenge (A)." zu beweisen (was schon gelöst wurde).

Florian T. S. :-)

Answer 1

weil dies im Sinne des Induktionsschrittes ist:

Warum wurde P₀ und P_b gebildet, um dies zu Beweisen? 

Deine Voraussetzung ist, dass du weißt wie die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge mit \(n\) Elementen aussieht. Um nun zu zeigen welche Mächtigkeit die Potenzmenge einer Menge mit \(n+1\) Elementen besitzt wird diese Potenzmenge so aufgeteilt, dass man eine disjunkte Vereinigung zweier Mengen vorliegen hat, von denen eine der Potenzmenge einer Menge mit jeweils \(n\) Elementen entspricht (somit kann man die IV dann verwenden).

Soll P₀ die Zahl "0" beim Induktionsschritt sein? 

Nein, sie soll einfach deutlich machen, dass es hier um eine Menge geht, die aus Mengen besteht in denen nicht das Element \(b\) vorkommt (Im Gegensatz zu \(P_b\) ).

Wieso folgt |P_b|=|P₀| ? 

Aus der Gleichung die direkt davor steht. Diese besagt, dass \(P_b\) sich im grunde genau so zusammensetzt:

Du nimmst jede Menge aus \(P_0\) und tust das Element \(b\) dazu. Demnach hat \(P_b\) genauso viele Elemente wie \(P_0\).

Gruß

Comments

Danke Yakyu :-)

Hast mir wieder super weitergeholfen, jetzt verstehe ich den Zusammenhang.

Bin mal gespannt wie viel ich von dem neuen Ü-Blatt verstehe, es geht hauptsächlich um
endliche Mengen, Induktion, injektiv/surjektiv/bijektiv sowie Permutationsgruppen.
Diesesmal werde ich mir mehr den Kopf zerbrechen, bevor ich eine Frage stelle
(Wobei ich das letztes mal auch oft getan habe), kann ja nicht schaden :-D

Wobei ich keine Ahnung habe, was eine Permutationsgruppe sein soll ^^

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Gerne :). Finde ich gut, erstmal ein bisschen Frustrationstoleranz aufbauen, kann sehr wichtig sein später. Und vor allem sich von dem Gedanken lösen, dass es ungewöhnlich ist mehr als 15 Minuten pro Aufgabe zu investieren. Bei uns hieß es damals pro Übungsblatt 4 - 10 Stunden, wobei es überhaupt keine Rolle spielt wie lange man dafür braucht (außer für die Frist vielleicht). Wichtiger ist, ob man die Aufgabe schafft.