durch ~ Äquivalenzrelation

Question

Auf ℝ² sei eine Relation ~ definiert durch

(a₁, a₂) ~ (b₁,b₂ ) : ⇔ (a₁ - b₁) = (a₂ - b₂ ).

Zeigen Sie, dass durch ~ eine Äquivalenzralation auf
ℝ² definiert wird.

Answer 1

(a₁, a₂) ~ (b₁,b₂ ) : ⇔ (a₁ - b₁) = (a₂ - b₂ ).

Du musst nur die 3 Eigenschaften zeigen:

reflexiv:   für alle (a₁, a₂) aus IR^2  gilt 
(a₁, a₂) ~ (a₁,a₂ ) und das stimmt, weil a1-a1 = 0 = a2-a2 .

symmetrisch:  wenn
(a₁, a₂) ~ (b₁,b₂ ) dann

ist ja (a₁ - b₁) = (a₂ - b₂ ) also auch

- (a₁ - b₁) = - (a₂ - b₂ )   also
(b₁ - a₁) = (b₂ - a₂ ) und damit

(b₁,b₂ )~ (a₁, a₂).

transitiv:  wenn  (a₁, a₂) ~ (b₁,b₂ ) und  (b₁,b₂ )~ (c₁, c₂)

dann  (a₁ - b₁) = (a₂ - b₂ ) und  (b₁ - c₁) = (b₂ - c₂ )

also auch   (a₁ - b₁) + (b₁ - c₁) = (a₂ - b₂ ) + (b₂ - c₂ )

also              (a₁ - c₁)=  (a₂ - c₂ )

und damit      (a₁, a₂) ~ (c₁,c₂ ).