I:$$ z(x, y) = -0.1 x² + 4x - 0.1y² + 5y + 0.1x y $$
II:$$ 5x + 10y ≤ 500 $$$$ x + 2y -100=0 $$
---Lagrange:
$$ \Lambda(x, y, \lambda) = -0.1 x² + 4x - 0.1y² + 5y + 0.1x y +\lambda( x + 2y -100) $$
---Ableitungen:
$$ \frac{\partial \Lambda(x, y,\lambda)}{\partial x}=-0.2 x + 4+0.1 y +\lambda $$
$$ \frac{\partial \Lambda(x,y,\lambda)}{\partial y}=- 0.2y + 5 +0.1x +2 \lambda $$
$$\frac{\partial \Lambda(x, y, \lambda) }{\partial \lambda} = x + 2y -100 $$
---Gleichungssystem:
$$ 0=-0.2 x + 4+0.1 y +\lambda $$
$$ 0=- 0.2y + 5 +0.1x +2 \lambda $$
$$0 = x + 2y -100 $$
---aufräumen
$$ -0.2 x +0.1 y +\lambda =-4 $$
$$ +0.1x - 0.2y +2 \lambda = -5$$
$$ x + 2y =100 $$
---Matrix
$$\begin{pmatrix} -0,2 & +0,1 & +1 \\ +0,1 & -0,2 & +2\\ +1 & +2 & \pm 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y\\ \lambda \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4\\-5\\+100 \end{pmatrix} $$
... und jetzt kann man erst was mit dem Cramer machen.
Alle Angaben wie immer ohne Gewehr. Der Rechtsweg ist politisch unkorrekt und daher abgeschossen.
;)
