Beweise folgende Aussagen über Funktionen

Question

blatt3.pdf (30 kb) Kann mir bitte wer einen Tipp gehen wie ich da vorgehen soll? Ich glaube ich denke total falsch. Ich dachte mir zu (a) folgendes:

A ⊆ (f ^-1 ο  f)(A) := f ^-1 (B) = A

B ⊇ (f ο f^-1)(B) := f(A) = B

Das heißt dann doch das B und A unechte Teilmengen von sich selbst sind? I.wie krachts da bei mir. Es wäre sehr lieb wenn mir wer helfen würde.

19.

Answer 1

A ⊆ (f ^-1 ο  f)(A)

Das hat mit dem B nichts zu tun.  Beweis geht vielleicht so:

Sei x aus A.  Dann gibt es ein y aus Y (das muss nicht in B sein)

mit f(x) = y .

Und f^-1 ( y) ist die Urbildmenge zu diesem y, enthält also alle z aus X,

deren Bild das y ist.  Eines dieser z's ist das anfangs gewählte x, also

ist x in der Menge (f ^-1 ο  f)(A).  q,e,d,

Und Gleichheit herrscht i.allg. nicht. Betrachte etwa f mit f(x) = x^2 von IR nach IR.

Sei A = {2} also die Menge , die nur die 2 enthält.

Dann ist (f ^-1 ο  f)(2) = f ^-1   ({4}) = {-2 ; 2 } also ist

A enthalten aber es ist nicht gleich A.

Comments

Danke für deine Antwort.

Darf ich nur mal fragen wie es dann bei b ist? 

Weil ich komme die ganze Zeit darauf das B eine unechte Obermenge von f(f^-1(B)) ist. kann das sein?

Das sind meine Ansätze zu Beispiel B.

Sei y∈B und B⊆Y.

(∀y∈B)(∃x∈X):x= f^-1(y).

Wenn das Urbild, also die entstandenen x über f^-1(y) wieder abgebildet werden über f(x), ∃z∈Y, wobei ∀z∈Y auch ∀z∈B sind. Dadurch stellen die z's  einen Teil der  y's  in B dar.

Somit bilden ∀y∈B die Obermenge (unechte Obermenge???) von f(f^-1(B))

Weiters habe ich versucht ein Gegenbeispiel zu finden in dem ich sehen kann, dass im allgemeinen keine Gleichheit gilt, jedoch komme ich andauernd auf Gleichheit. Kann das sein oder gehe ich das falsch an? Ist es nämlich immer gleich würde es ja eine unechte Obermenge sein, aber das sollte es ja nicht sein oder?