Was ist der Betrag von |2*|x+1|-2|

Question

Wie schon im Titel steht, ist die Funktion f(x)=   |2*|x+1|-2| zu berechnen.

Wie habe ich denn da vorzugehen?

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Wie lautet denn die genaue Aufgabe? 

Answer 1

Hier noch meine Berechnungen

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Zum Schluss muss es jeweils \(\le\) heißen und dann können die beiden Fälle auch zusammengefasst werden!

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danke! jetzt hab ich es verstanden!

nur wie kommst du denn auf die 16 x in der zeile 4x^2+16x+16. du quadrierst zwar, aber trotzdem macht es für mich keinen sinn dass da die 16 x auftaucht.

lg

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(  -2x - 4 )^2
( -2x - 4 ) * ( -2x - 4 )
Ausmultiplizieren : Jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied
der anderen Klammer multiplizieren.

(-2x) * ( -2x ) + ( -2x ) * (-4 ) + ( -2x ) * ( -4 ) + ( -4 ) * ( -4 )
4x^2 + (8x ) + (8x ) + 16
4x^2 + 16x + 16

Einfacher
(  -2x - 4 )^2 ist eine binomische Formel
( a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Danach kann man auch rechnen.

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könntest du grad noch erklären, wie du auf die zeile darunter gekommen bist mit der -3?

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4x² + 16x + 16 ≤ 4  | : 4
x² + 4 * x + 4 ≤ 1  | - 4
x^2 + 4x ≤ -3

Ich sehe aber gerade : das war ein Umweg
x² + 4 * x + 4 ≤ 1  | die linke Seite kann man bereits jetzt als binomische Formel schreiben
( x + 2)^2 ≤ 1

Answer 2

Gegeben sei die Funktion f(x)=|2*|x+1|-2|

A. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion und bestimmen sie alle Werte von x für welche f(x)  < gleich 2.

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Na, dann wäre doch wohl mal eine Wertetabelle angemessen...

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Das ist mir schon bewusst, aber wie rechnet man denn mit den Beträgen?

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Einfach einsetzen und zunächst innerhalb der Betragsklammern ausrechnen. Ist das Teilergebnis negativ, wechselst du das Vorzeichen und ersetzt die Betragsklammern durch runde Klammern. Ist es positiv, kannst du die Betragsklammern sofort durch runde Klammern ersetzen.

Vorschlag: Wertetabelle von \(x=-4\) bis \(x=2\).

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Sobald ein negativer wert rauskommt wird es ja dann auch positiv durch den Betrag oder? Dann kann ich ja prinzipiell auch eine Klammer drum machen oder?

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Rechne mal ein  paar Werte aus. Beachte aber, dass hier ein innerer und ein äußerer Betrag zu beachten sind.

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Wenn du mit dem richtigen Browser unterwegs bist, kannst du dir mit dem Suchbegriff

abs(2*abs(x+1)-2)

die Funktion von Google zeichnen lassen. Ersetzt du darin das x durch Zahlen deiner Wahl, werden dir die entsprechenden Funktionswerte berechnet, zum Beispiel für \(x=-4\):

abs(2*abs(-4+1)-2)

Answer 3

Es gilt

|x| = x für x >= 0

|x| = -x für x < 0

Skizze:

Answer 4

So, hier noch die Bestimmung der Argumente, für die \(f(x)\le 2\) ist:$$ \left|2\cdot\left|x+1\right|-2\right| \le 2 \\ \Leftrightarrow\\ \left|\left|x+1\right|-1\right| \le 1 \\ \Leftrightarrow\\ \left(\left|x+1\right|-1\right)^2 \le 1^2 \\ \Leftrightarrow\\ \left(x+1\right)^2-2\left|x+1\right|+1 \le 1 \\ \Leftrightarrow\\ \left(x+1\right)^2 \le 2\left|x+1\right| \\ \Leftrightarrow\\ \left(x+1\right)^4 \le 4\left(x+1\right)^2 \\ \Leftrightarrow\\ \left(x+1\right)^2 \le 4 \\ \Leftrightarrow\\ -2 \le x+1 \le 2 \\ \Leftrightarrow\\ -3 \le x \le 1. $$Im ersten Schritt wird die \(2\) herausgekürzt. In den nächsten Schritten werden, falls notwendig, die Beträge isoliert und wegquadriert, was hier jeweils Äquivalenzumformungen sind und unnötige Fallunterscheidungen erspart. Gegen Ende wird \((x+1)^2\) herausgekürzt, was wegen \(x=-1\) eigentlich nicht erlaubt ist, hier aber netterweise nichts an der Lösungsmenge ändert.