Wahrscheinlichkeit Basketball

Question

Ein Basketballspieler hat bei seinen Freiwürfen eine durchschnittliche Trefferquote von 85%.

3. Wie viele Freiwürfe müssen geworfen werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens 1 mal trifft.

4. Wie viele Treffer kann man erwarten,  wenn er 20, 200 bzw. 2000 Freiwürfe durchführt. 

Ich hänge bei diesen Aufgaben schon lange .. Vielleicht kann mir hier jemand helfen? !

Answer 1

3. Kannst du anders formulieren: Wie oft muss er werfen, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass er kein mal (hintereinander) trifft höchstens bei 1% liegt. Die Ungleichung kannst du mit dem Logarithmus lösen:

$$ (1-0.85)^n \leq 0.01 $$

$$ 0.15^n \leq 0.01 $$

$$ n \cdot \log(0.15) \leq \log(0.01) $$

$$ n \geq \frac{\log(0.01)}{\log(0.15)} \approx 2.43$$

Er muss mindestens 3 mal werfen.

4. Erwartungswert ist hier immer Anzahl der Würfe multipliziert mit der Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wurf. Also 17, 170, 1700

Gruß

Comments

vielen lieben Dank!

Kann man Aufgabe 3 auch ohne dem Logarithmus lösen? 

Vielleicht mit der Formel der Binomialverteilung, da wir uns gerade mit diesem Thema beschäftigen.

Formel: ("n über k")• p^k• q^n-k 

Natürlich weiß ich nicht, ob das funktioniert mit dieser Formel, aber vielleicht ist es ja auch möglich

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Hi, der Sinn dieser Aufgabe ist es zu sehen, dass der Weg über die Binomialverteilung ohne großen Rechenaufwand nicht zu bewältigen ist (nicht alle TR können das), außer man landet wieder bei der Rechnung die ich oben angeführt habe.

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Ich habe es jetzt mit dem Weg versucht, wie im Unterricht. Habe aber Schwierigkeiten..
Komme hier nicht weiter ... Sind die Angaben überhaupt richtig, also z.B. k? Wie kriege ich n auf eine Seite, um die Anzahl der Würfe bestimmen zu können? 

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das ist genau der Knackpunkt. Du berechnest da eine ganz andere Wahrscheinlichkeit. Was du da stehen hast wäre die Wahrscheinlichkeit genau einen Treffer zu haben, es geht aber darum mindestens einen Treffer zu haben!

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Ahhh ok verstehe. Daran liegts.

Vielen lieben dank :)

Answer 2

Ein Basketballspieler hat bei seinen Freiwürfen eine durchschnittliche Trefferquote von 85%.

3. Wie viele Freiwürfe müssen geworfen werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens 1 mal trifft.

1 - (1 - 0.85)^n ≥ 0.99 --> n ≥ 2.427453309 --> n ≥ 3

4. Wie viele Treffer kann man erwarten,  wenn er 20, 200 bzw. 2000 Freiwürfe durchführt. 

20 * 0.85 = 17
200 * 0.85 = 170
2000 * 0.85 = 1700

Comments

Vielen lieben Dank!!

Welche allgemeine Formel wurde bei Aufgabe 3 verwendet? Damit ich einen Überblick bekomme, was p,q,n, und k sind. 

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Drei mal mindestens Aufgabe

1 - (1 - p)^n = P

--> n = LN(1 - P) / LN(1 - p)

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Alles klar,  

Ich hab es jetzt auf dem Weg versucht,  wie wir es gelernt haben.

Ich komme nur hier nicht weiter (siehe Bild )... Sind die Angaben überhaupt richtig, also z.B. k? Wie kriege ich n auf eine Seite? Eine Idee? 

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Es gilt nicht P(X = 1) sondern 

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)

Das ist wichtig hierbei.

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Ist das soweit jetzt richtig? Wie kriege ich brim letzten Schritt die 0,15 auf die andere Seite? 

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1 - (1 - 0.85)ⁿ ≥ 0.99

Achtung: Bei der Multiplikation mit -1 dreht sich das ungleichheitszeichen um.

0.15^n ≤ 0.01

LN(0.15^n) ≤ LN(0.01)

n * LN(0.15) ≤ LN(0.01)

n ≥ LN(0.01) / LN(0.15)

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Ist dieser Schritt nur mit dem Logarithmus möglich?

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Ja. Auflösen nach einem Exponenten macht man mit dem Logarithmus.