Question

Es sei X eine Menge und X^x die Menge aller Funktionen. f: X --> X

Zeigen Sie, dass die Zusammensetzung von Funktionen eine assoziative Operation auf X^x ist.

Answer 1

Seien \(f,g,h:X\rightarrow X\) Elemente von \(X^X\). Dann gilt:

\(((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x))=\)

\(=f((g\circ h)(x))=(f\circ(g\circ h))(x)\) für alle \(x\in X\),

also \((f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\).