Verständnisproblem zur Injektivität:

Question

ich habe eine allgemeine Frage zur injektivität. Eine Bedingung der Injektivität ist:
"Ist f(x₁) = f(x₂), dann is x₁ = x₂".

Ich verstehe diese Aussage nicht, da ja bei der injektivität gilt, dass verschiedene
Argumente, auf verschiedene Funktionswerte abgeildet werden und jeder x höchstens
ein Urbild besitzt. Wenn also f(x₁) = f(x₂) dann ist die Abbildung doch gar nicht Injektiv, da x₁ und x₂ gleich sind. Was hat diese Behauptung also für einen Sinn? Denn x₁ und x₂ sollen ja unterschiedlich sein.

Florian T. S.

Answer 1

Hi,

die Aussage \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \) ist nix anderes als die Kontraposition zu \( x_1 \neq x_2\Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \) und ist somit insbesondere eine äquivalente Definition/Bedingung für die Injektivtiät.

Gruß

Comments

Alles klar, dann werde ich absofort die Kontraposition nutzen :-) Aus der Kontraposition geht für mich eher hervor, dass x höchstens ein Urbild besitzen darf. 

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Habe nun auch die andere Definition/Bedingung verstanden. Ich habe immer gedacht,
dass x1 und x2 unterschiedliche Werte sind, dabei geht man davon aus, dass x1 und
x2 gleiche Werte haben, also müssen beide Werte auch auf den selben Wert abgebildet
werden, da sonst die Funktion nicht injektiv ist :-)