Verständnisfrage zur Injektivität

Question

Warum gilt f(x) = f(y) -> x = y, aber nicht x=y -> f(x) = f(y)?

Für mich haben beide Terme irgendwie die gleiche Aussage. Aber es kann sein, dass ich die Definition von Injektivität falsch verstanden habe und online bis jetzt noch keine Lösung gefunden habe. Kann es sein, dass es bei Injektivität Elemente in der Startmenge gibt, die nicht verwendet werden?

vielen Danke schonmal für jede Antwort/jeden Tipp :)

Answer 1

Warum gilt f(x) = f(y) -> x = y, aber nicht x=y -> f(x) = f(y)?

 x=y -> f(x) = f(y) gilt bei jeder Funktion. Der Funktionswert

ist immer eindeutig festgelegt, wenn also x und y gleich sind,

dann haben beide den gleichen Funktionswert.

Injektivität bedeutet:

f(x) = f(y) -> x = y

oder anders formuliert: Wenn zwei Elemente verschieden

sind, dann sind es auch ihre Funktionswerte verschieden.

zum Beispiel bei der Quadratfunktion ist das nicht erfüllt,

weil (-2)^2 = 2^2  ist.

Comments

Vielen vielen Dank und jetzt im nachhinein ist die Frage ziemlich unglücklich.. Natürlich ist x=y -> f(x) = f(y) keine Definition der Injektivität und gilt immer. Danke :)

Answer 2

Zweistellige Relationen, die die linke Implikation, also die Injektivität, erfüllen, heißen auch linkseindeutige Relationen. Erfüllen sie die rechte Implikation, werden sie rechtseindeutig genannt. Funktionen sind spezielle Relationen, die per Definition immer rechtseindeutig sind, dies ist also bei Funktionen keine besondere Eigenschaft.

Answer 3

Die Aussage A→B ist äquivalent zu B ∨ ¬A. Offensichtlich ist damit A→B nicht äquivalent zu B→A.

Warum gilt f(x) = f(y) -> x = y

Weil das die Definition von Injektivität ist.

aber nicht x=y -> f(x) = f(y)

Das ist falsch. x=y -> f(x) = f(y) gilt ebenfalls. Das reicht aber nicht für Injektivität. zum Beispiel gilt x=y -> f(x) = f(y) auch für f(x) = x².

Kann es sein, dass es bei Injektivität Elemente in der Startmenge gibt, die nicht verwendet werden?

Ich weiß nicht, was du mit Startmenge meinst. Es gibt keine Elemente des Definitionsbereichs, die nicht "verwendet" werden.

Comments

Danke für die Antwort :) Ich habe es jetzt verstanden, wobei ich immer noch unsicher bin, ob nun elemente in der Startmenge sein können, die nicht verwendet werden. Auf dieser Mathepedia Seite: http://www.mathepedia.de/Injektion.html zum Beispiel sieht man in der Abbildung, die "das Wesen der injektivität" verdeutlicht, aber es werden alle aus dem Quell- /Start- raum A verwendet.

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wobei ich immer noch unsicher bin, ob nun elemente in der Startmenge sein können, die nicht verwendet werden

Und ich bin immer noch unsicher, was du mit Startmenge meinst.

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Bei einer zweistelligen Relation gibt es immer eine erste Menge, die naheliegenderweise auch Startmenge heißt, und eine zweite Menge, die, ebenfalls naheliegend, auch Zielmenge genannt wird.

Es müssen nicht alle Elemente der Startmenge in Relation zu einem oder mehreren Elementen der Zielmenge stehen. Falls das aber doch so ist, heißt die Relation auch linksvollständig oder auch linkstotal.

Funktionen sind Relationen, die linksvollständig (und rechtseindeutig) sind. Die Linksvollständigkeit bedeutet gerade, dass alle Elemente der Startmenge auch verwendet werden und daher wird die Startmenge einer Funktion auch ihre Definitionsmenge genannt.

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Entschuldigung wegen der Verwirrung

Allerdings habe ich in dem Zusammenhang noch keine anderen Begriffe, wie Definitionsmenge gehört, falls dieser klarer ist.

und Vielen Dank @az0815

Die Begriffe links-/recht-eindeutig und links-/rechts-total (oder vollständig) habe ich schonmal gehört, aber wusste nicht mehr genau, was man mit ihnen anfangen kann.

Eine Frage: Können partielle Funktionen, die nur rechtseindeutig, aber nicht linksvollständig sind, injektiv sein? Falls ja, würde das ja bedeuten, dass die Definitionsmenge auch größer als die Zielmenge ist... und das klingt irgendwie falsch.

1/x ist glaube ich eine injektive partielle Funktion... o.o

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Definitionsmenge hat zumindest einen eigenen Eintrag bei Wikipedia.

Können partielle Funktionen, die nur rechtseindeutig, aber nicht linksvollständig sind, injektiv sein?

Partielle Funktionen sind keine Funktionen. Schau in deine Definition von Injektivität, ob der Beriff nur für Funktionen definiert ist, oder auch für partielle Funktionen.

1/x ist glaube ich eine injektive partielle Funktion...

f: ℝ\{0} → ℝ, x ↦ 1/x ist eine injektive Funktion.

1/x ist einfach nur ein Term.

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Vielen Dank für die ganzen Antworten :) Wow... okay ich habe mich da ganz schön viel selbst verwirrt. Jetzt bin ich mir glaube ich sicher, das Thema verstanden zu haben ^^