es geht um zwei Definitionen von Injektivität, die ich hier bei einer Abbildung $$ g: \ [-4,4]\rightarrow \mathbb{R},x \mapsto -\frac{1}{2}x^2+4$$ heranziehen möchte.
Bisher kannte ich folgende Definition für die Injektivität:
$$ \text{Definition (,,bisher"). Sei } f: X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung. }f\text{ heißt injektiv, wenn für alle }\\x_1,x_2\in X \text{ gilt: }f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2. $$
Nun habe ich folgende Definition kennengelernt.
$$ \text{Defintion (,,neu"). Eine Abbildung }f: X\rightarrow Y \text{ heißt injektiv, wenn }\\f(x_1)\neq f(x_2)\text{ für alle }x_1,x_2\in X \text{ mit }x_1\neq x_2\text{ gilt.} $$
Müsste dann mein Beweis zur Injektivität für g nach der Definition (,,neu") dann so aussehen?
$$ \text{Sei }g(x_1)\neq g(x_2) \text{ für zwei beliebige Elemente }x_1,x_2\in [-4,4]. \text{Dann gilt}\\ g(x_1)=-\frac{1}{2}x_1^2+4\neq -\frac{1}{2}x_2^2+4= g(x_2) \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x_1^2\neq -\frac{1}{2}x_2^2 \Leftrightarrow x_1^2\neq x_2^2 \Rightarrow x_1\neq x_2.$$
