n+1∑k=0 (-1)k * ( n+1 über k) = 0

Question

^{Hallo liebe Community! könnt ihr mir bitte sagen wie sich die letzte Zeile ergibt? denn die vorletzte Zeile hat noch eine untere Grenze von 0 und dann springt diese auf 1 ohne dass sich was anderes ändert.} 

ⁿ⁺¹∑_k=0   (-1)^k * ( n+1 über k)   =  0

<=>  ⁿ∑_k=0   (-1)^k * ( n+1 über k)    +   (-1)ⁿ⁺¹ * (n+1   über  n+1)  =  0

<=> ⁿ∑_k=0   (-1)^k * ( n über k   +   n  über k-1)     +    (-1)ⁿ⁺¹ * 1  =  0

<=> ⁿ∑_k=0   (-1)^k * ( n über k)    +     ⁿ∑_k=0   (-1)^k * (n  über k-1)   +  (-1)ⁿ⁺¹ * 1 = 0

<=>  0  + ⁿ∑_k=0   (-1)^k * (n  über k-1)   +   (-1)ⁿ⁺¹ = 0

<=>  ⁿ∑_k=1   (-1)^k * (n  über k-1)   +  (-1)ⁿ⁺¹ = 0

Comments

\( \binom{n}{-1} = 0 \).

Answer 1

Für k=o wäre dort ja  n über -1 und weil das als 0 definiert ist,

kann man den Summanden einfach weglassen.