Binomialkoeffizienten. Beweisen von (n über k) = (n über (n-k))

Question

Ich soll beweisen, dass für (n,k eine Teilmenge von Natürlichen Zahlen) k kleiner gleich n stets gilt. 

Nun weiß ich gar nicht, wie ich bei so etwas Vorgehen soll, also das zu beweisen, weil wir das nie so gelernt haben.

Nach etwas suchen bin ich auf Folgendes gestoßen:

\( \begin{aligned}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right) &=\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-k}\end{array}\right) \\\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-k}\end{array}\right) &=\frac{n !}{(n-k) ! \cdot(n-(n-k)) !} \end{aligned} \)

Quelle: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Binomialkoeffizient:_Rechenregeln

Ich weiß, dass anstelle von (n-(n-k))! ein k! steht, nur mir ist schleierhaft, wo sie das (n-(n-k))! hernehmen.

Answer 1

Hallo IE,

 \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) =  n! / [ k! * (n - k)! ]     per Definition des Binimialkoeffizienten.

Jetzt musst du nur überall  k durch  n-k ersetzen:

 \(\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix}\) =  n! / [ (n - k)! * (n - (n - k))! ]   =  n! / [ (n-k)! * k! ]

Gruß Wolfgang