Integralrechnung: Stammfunktion von f(x) = (x-4)/(2x+1) bestimmen

Question

Kann mir jemand zeigen wie diese rechnung funktioniert, schritt für schritt bitte, danke!

Answer 1

Hi,

Da Nennergrad = Zählergrad ist, wird hier die Polynomdivision bemüht

$$\int \frac{x-4}{2x+1} \; dx = \int \left(\frac12 - \frac{9}{2(2x+1)}\right)\; dx $$

Das nun Summandenweise integrieren. Bei letzterem den Logarithmus verwenden

--> \(\frac{x}{2} - \frac94\ln(2x+1) + c\)

Nun Grenzen einsetzen:

= -0.906

Grüße

Comments

Und wie kommst du auf die 9 im zähler wenn ich fragen darf?

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Mittels Polynomdivision. Sind auch 4,5. Hängt mit dem Faktor 2 im Nenner zusammen :).

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Muss ich da einfach 4 +0,5 und dann mal 2 machen?

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Achso polynomdivision, hab grad voll vergessen, kenn mich schon aus, danke :-)

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Haha cool. Sehr gut :).

Answer 2

Eine Möglichkeit ist es eine Polynomdivision
durchzuführen, hat man nur noch einmal x.
Dann den ln ( ) einsetzen

Comments

Mahlzeit Georg,

bei Polynomdivision sind Klammern essentiell. Bitte nicht ignorieren :).

Grüße

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Mahlzeit,
das Thema hatten wir schon einmal.
Ich finde meine Schreibweise für mich klarer.
Ich hoffe der Fragesteller konnte die Polynomdivision
als solche erkennen. Steht ja auch darüber.

Das man es mit eigener Schreibweise  trotzdem weit bringen
kann zeigt das Beispiel Ramanujan.

mfg Georg

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Ja ich erinnere mich daran.

"Eigene" Schreibweise hin oder her. In der Schule wird das (aus verständlichem Grund) nicht akzeptiert. Willst Du verständlich für alle Schreiben (und nicht auf eine eigene Sprache ausweichen), dann ist die Befolgung gewisser Grundregeln zu befolgen. So aber förderst Du nur eine unnötige Fehlerquelle bei Schülern!

Just my two Cents

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Prinzipiell meine ich das meine Antworten in der Summe
besser von den Fragenden verstanden werden als so
manche Antwort die in voller akademischer Strenge gegeben
wurde.
( Ich meine jetzt nicht dich damit ).

Was heißt das : Just my two Cents ?

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Ist eine englische Redewendung und bedeutet so viel wie "nur meine Meinung".

Und das mag durchaus sein. Aber gerade bei Klammersetzung gibt es so extrem viel Probleme bei Schülern und wird extrem von Lehrer geahndet, dass ich das erwähnen wollte mit der Bitte das zu berücksichtigen.

Nun ist es gesagt, die Umsetzung oder auch nicht, bleibt Dir überlassen. Werde es aber eventuell wieder erwähnen, wenn es mir auffällt. Nicht in der Absicht Dir auf die Nerven zu gehen, sondern dem Schüler drauf aufmerksam zu machen, dass es bei ihm eventuell "sauberer" gefordert wird.

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@Fragesteller
Zum Integrieren :
bei meiner extrem klaren und übersichtlichen Polynomdivision
gab es als 2.Term : - 4.5 / ( 2*x + 1 )
Wenn ich das x im Nenner habe denke ich zunächst an den ln ( )

[ ln ( term )] ` = ( term ´ ) / term
probeweise leite ich ab
[ ln ( 2x + 1 ) ] ´= 2 / ( 2x + 1 )
Sieht schon ganz gut aus aber im Zähler brauchen wir - 4.5
2 * z = - 4.5
z = - 2.25
Also
[ - 2.5 * ln ( 2x + 1 ) ] ´= -4.5 *  / ( 2x + 1 )

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Zustimmen möchte ich dir das der Hauptfehlergrund bei hier
gestellten Fragen die fehlende Klammerung ist.

So far so good.

Answer 3

Führe eine Polynomdivision durch:

(x-4) :(2x+1) = (1/2 - 9/(2(2x+1))

Das 2. Integral löst Du durch Substitution:: z=2x-1

Ergebnis: ≈ - 0,906