Vielfalt von Nulstellen (und Nullstellen an sich) ermitteln

Question

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Hier ist erstmal die Aufgabenstellung (aus meinem Mathebuch):

gya zo(dot)com/682e95290ef514a2bc0f0e8a14d11474

und zwar hier nur die Aufgabe 1/b!

mein Problem ist jetzt allein schonmal folgendes:

nehmen wir bei b) f7(x).

also f(x)=x^4-18x^2+81.

so...wie kann ich diese Funktion nur Faktorisieren?!

ich bin nicht drauf gekommen also hab ich foglenden Rechner verwendet:

http://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/faktorpolynom.htm

rauskommen tut da nun: (x + 3)^2·(x - 3)^2

damit ist klar, 3 und -3 sind jeweils doppelte Nulstellen, richtig?

aber wie forme ich das bitte so um, ohne irgendeinen Rechner aus dem Internet natürlich?...

danke für eure Hilfe schonmal!

Anton

Answer 1

Du musst die binom. Formeln erkennen und ein Potenzgesetz anwenden:

-18 und 81 sind hier verräterische Zahlen für die 2. binom. Formel.

(x^2-9)^2 = ((x+3)(x-3)) ^2 = (x+3)^2*(x-3)^2

Answer 2

Es gibt einmal den exakten Weg für Polynome bis Grad 4 (PQRST... Formeln), wie sie 

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

vorrechnet -> ABER mit komplexen Zwischenergebnissen (kennen nicht mal 90% der Lehrer)

und den Sonderfall-Weg, den Lehrer haben wollen:

a) kein Restglied  -> also kann man x ausklammern

b) nur gerade Potenzen am x -> Substitution

c) Raten + Polynomdivision

Bei Dir Fall b) setzt man x^2 = u 

0=u^2-18u+81

damit hast Du eine primitive quadr. Gleichung für 2 Lösungen mit u

u1=u2=9

dann Rücksubstitution: x = sqrt(u) = Wurzel(u) 

x1=x2=3

x3=x4=-3

Produkt ist 0, wenn auch nur 1 Faktor 0:

(x+3)*(x+3)*(x-3)*(x-3) = (x+3)² * (x-3)²