Alle Sigma-Algebren auf einer Menge angeben?

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Aufgabe, wo ich mir nicht ganz sicher bin, ob diese so richtig ist:

Geben Sie alle σ-Algebren Ψ auf {0,1,2,3} an, die {0}∈Ψ erfüllen.

Ich bin nun einfach mal die Eigenschaften einer Sigma-Algebra durchgegangen, welche erfüllt sein müssen.

Dabei habe ich zuerst Ω:={0,1,2,3} und A:={0} gesetzt.

1) ∅∈Ψ
2) ∀A∈Ψ ist Ω\A∈Ψ
3) ∪_n∈ℕ(A_n)∈Ψ

Ich habe also die leere Menge, dann alle Komplemente, sowie die Vereinigungen genommen und aufgeschrieben. Ich bin dann auf folgende Sigma-Algebra gekommen:

Ψ={∅,Ω,{0},{1,2,3}}

Kann diese Sigma-Algebra stimmen? Was mich außerdem ein bisschen verwirrt, wieso dort steht, dass man "alle" Sigma-Algebren bestimmen soll. Bedeutet das, dass es hier nur eine gibt oder habe ich einfach welche vergessen?

Ich würde mich über eine Hilfe freuen :)

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Σ-Algebra#Beispiele

Answer 1

> Kann diese Sigma-Algebra stimmen?

Ja, die Menge {∅,Ω,{0},{1,2,3}} ist eine Sigma-Algebra auf Ω.

> ... wieso dort steht, dass man "alle" Sigma-Algebren bestimmen soll.

Weil der Professor sich gedacht hat, es wäre eine gute Idee, dass ihr "alle" Sigma-Algebren bestimmt, die {0} enthalten.

Die Potenzmenge von Ω ist immer eine Sigma-Algebren über Ω. Sie stimmt aber nicht mit der von dir konstruierten Sigma-Algebra überein. Es gibt also anscheinend mehrere Sigma-Algebren zu der gleichen Grundmenge.

Für jede Sigma-Algebra Ψ über Ω gilt ∅∈Ψ und Ω∈Ψ. Laut Aufgabenstellung soll auch {0}∈Ψ sein. Untersuche doch mal, zu welchen Sigma-Algebren du kommst,

• wenn auch {1}∈Ψ sein soll,
  
• wenn auch {1,2}∈Ψ sein soll,
  
• etc.
  

Comments

Achso okay :)

Also ist dann auch P(Ω)∈Ψ eine Sigma-Algebra (P Potenzmenge)

Wenn gilt, dass ∅∈Ψ und Ω∈Ψ, dann müsste das folgende doch auch eine Sigma-Algebra sein: {∅,Ω}

Im Internet habe ich nun auch gelesen, dass folgendes gilt: Für beliebige Mengen Ω und A⊆Ω ist Ψ={∅,A,A^c,Ω} kleinste Sigma-Algebra, die A enthält. Das müsste ja bedeuten, dass {∅,{0},{1,2,3},Ω} wie oben eine Sigma-Algebra ist

Somit habe ich ja schon, sofern alles richtig ist, 3 verschiedene Sigma-Algebren gefunden, nämlich Ψ={∅,Ω} , Ψ=P(Ω) und Ψ={∅,{0},{1,2,3},Ω}

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Ich habe nun auch mal das ganze untersucht, wenn auch {1}∈ψ ist:

Also dann ist Ω={0,1,2,3} und sei B:={ {0} , {1} }

Dann komme ich auf folgende Sigma-Algebren:

Ψ={∅,Ω,{0},{1},{0,1},{2,3},{1,2,3},{0,2,3}}
Ψ={∅,Ω}
Ψ=P(Ω)
Ψ={∅,B,B^c,Ω}={∅,{0},{1},{1,2,3},{0,2,3},Ω} (<-- Das ist glaube ich falsch)

Ich bin mir hier aber nicht sicher, ob das stimmt :)

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> dann müsste das folgende doch auch eine Sigma-Algebra sein: {∅,Ω}

Das ist richtig. Sie erfüllt aber nicht die in der Aufgabenstellung zusätzlich geforderte Bedingung {0}∈Ψ.

> Ψ={∅,Ω,{0},{1},{0,1},{2,3},{1,2,3},{0,2,3}}

Stimmt.

> {∅,{0},{1},{1,2,3},{0,2,3},Ω} (<-- Das ist glaube ich falsch)

Das ist tatsächlich falsch,weil Sigma-Algebren abgeschlossen bezüglich Vereinigung sein müssen also auch {0}∪{1} Element der Sigma-Algebra sein müsste.

Trotzdem gibt es mehr Sigma-Algebren, die {0}∈Ψ erfüllen. Ich zähle 5, davon hast du 3 gefunden.

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Irgendwie komme ich nicht ganz dahinter...

Ich habe nun mal die Potenzmenge P(Ω) aufgeschrieben, in der Hoffnung, dass ich was erkennen kann :)
Dies ist leider nicht so ganz der Fall

Also P(Ω)={∅,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}

Ich habe nun irgendwie gedacht, dass ich mit den Elementen der Potenzmenge, wieder eine neue Sigma-Algebra basteln kann.

Wäre das denn ein guter Ansatz? Bzw. wie müsste ich vorgehen, um noch weitere zu finden? :)
Könnte ich z.B einfach alle Elemente aus P(Ω) nehmen, welche eine 0 beinhalten und daraus dann wieder eine Sigma-Algebra basteln?

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Die kleineste Sigma-Algebra, die {0} enthält ist {∅,Ω,{0},{1,2,3}}

Darüber hinaus hast du die Sigma-Algebra
{∅,Ω,{0},{1},{0,1},{2,3},{1,2,3},{0,2,3}} gefunden, indem du
{1} hinzugefügt hast (und die notwendigen Vereinigungen und Komplemente).

Zu welcher Sigma-Algebra kommt man denn, wenn man anstatt der {1} die {2} hinzufügt?

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Okay :)

Wenn ich nun C:={ {0} , {2} } setze, dann erhalte ich folgende Sigma-Algebren:

Ψ=P(Ω)
Ψ={∅,Ω} 
Ψ={∅,Ω,{0},{2},{0,2},{1,3},{1,2,3},{0,1,3}} 

Und wenn ich D:={ {0} , {3} } setze, dann folgende:

Ψ=P(Ω)
Ψ={∅,Ω} 
Ψ={∅,Ω,{0},{3},{0,3},{1,2},{1,2,3},{0,1,2}} 

Für E:={ {0} , {1,2} } müsste das ganze wie folgt aussehen:

Ψ=P(Ω)
Ψ={∅,Ω} 
Ψ={∅,Ω,{0},{3},{0,3},{1,2},{1,2,3},{0,1,2}}

Ich bin nun einfach mal ein paar noch durchgegangen. Wenn ich mich nicht vertan habe, sollte das so sein. Also sind z.B. Die Sigma-Algebren, die ich für { {0} , {3} } und { {0} , {1,2} } gleich :)

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Wie könnte ich daraus einen Zusammenhang auf noch nicht gefundene Sigma-Algebren schließen? :)

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Ich fasse mal zusammen. Folgende Sigma-Algebren über Ω={0,1,2,3}, die {0} enthalten, hast du bereits gefunden:

• P(Ω)
• {∅,Ω,{0},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{1}, {0,1},{2,3},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{2}, {0,2},{1,3},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{3}, {0,3},{1,2},{1,2,3}}

Das sind die 5 von denen ich gesprochen habe.

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Ich glaube langsam kommt mir die Idee, wie man darauf kommt. Also ich habe jetzt die Sigma-Algebren gebildet, welche {0} , { {0} , {1} } , { {0} , {2} } und { {0} , {3} } enthalten. Durch diese kommen ja die folgenden Sigma-Algebren zustande: 

• {∅,Ω,{0},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{1}, {0,1},{2,3},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{2}, {0,2},{1,3},{1,2,3}}
• {∅,Ω,{0},{3}, {0,3},{1,2},{1,2,3}}
• P(Ω) (Die Potenzmenge ist die größtmögliche Sigma-Algebra auf Ω und sie enthält die {0})
  

{∅,Ω} ist keine Sigma-Algebra, da {0} nicht enthalten ist.
Nun kommen mir aber noch Fragen auf.  Und zwar habe ich die Sigma-Algebren ja mit den Mengen {0} , { {0} , {1} } , { {0} , {2} } und { {0} , {3} } aufgestellt, weil dort immer die {0} enthalten ist. Woher weiß ich, dass ich genau diese Mengen betrachten muss? Ich könnte ja auch die Menge { {0} , {1,2} } betrachten. Oder muss man diesen Fall nicht mehr betrachten, weil man ja schon { {0} , {1} } und { {0} , {2} } hat? Und gibt es irgendeinen Trick oder eine Formel, womit ich erkennen kann, dass ich alle Sigma-Algebren einer Menge Ω gefunden habe? :)

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> Ich könnte ja auch die Menge { {0} , {1,2} } betrachten.

Ja, das hättest du machen müssen. Du würdest dann zu dem Ergebnis kommen, dass dadurch die Sigma-Algebra {∅,Ω,{0},{3}, {0,3},{1,2},{1,2,3}} entsteht.

> Und gibt es irgendeinen Trick oder eine Formel, womit ich erkennen kann, dass ich alle Sigma-Algebren einer Menge Ω gefunden habe?

Brut Force

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Achso okay, also einfach alle Möglichkeiten durchgehen, wo die {0} mit enthalten ist
Und am Ende sehe ich dann, welche Sigma-Algebren raus kommen.

Also bspw. müsste ich noch { {0} , {1,3} } , { {0} , {2,3} } , { {0} , {1,2,3} } , { {0} , {1} , {2} } , ... durchgehen um sicher zu sein, dass ich alle gefunden habe? :)

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Müsstest du eigentlilch. 

Für z.B. { {0} , {1,3} } könntest du aber auch argumentieren, dass Ω\({0} ∪ {1,3}) = {2} ist, und du deshalb zur Sigma-Algebra {∅,Ω,{0},{2}, {0,2},{1,3},{1,2,3}} kommst.

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Okay jetzt habe ich alles verstanden :D

Vielen Dank für Ihre Hilfe :)