Begründung, ob es sich bei Äquivalenzrelationen handelt.

Question

kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Begründen Sie, ob es sich bei den Relationen
• R1 = {a∼1a, a∼1b, c∼1c, e∼1b, b∼1b, b∼1a, b∼1e, e∼1e, d∼1d} und

• R3 ={e∼2c,b∼2b,a∼2a,d∼2c,c∼2c,c∼2d,e∼2d,e∼2e,d∼2d,c∼2e,d∼2e}

auf der Menge {a, b, c, d, e} um Äquivalenzrelationen handelt. Falls ja, geben Sie die Äquivalenzklassen an.Begründen Sie, ob es sich bei den Relationen

Answer 1

da die Grundmenge {a, b, c, d, e} keine Elemente 1a,1b, ... , 2a, 2b ... enthält, sind die Aussagen  "a∼1a" usw. unsinnig.

Genauso unsinnig ist es, "a∼1a" usw. als Elemente der Relation R₁ anzugeben:

Eine Relation R ist auf der angegebenen Grundmenge eine Teilmenge von {a, b, c, d, e} x {a, b, c, d, e}, also eine Paarmenge wie   z.B.   R = { (a|a) , (c|b) ... }

Denkt man sich z.B.  R₁ = { (a|a), (a|b), (c|c), (e|b), (b|b), (b|a), (b|e), (e|e), (d|d) }dann liegt wegen  (a|b) ∈ R₁ ∧ (b|e) ∈ R₁ ∧ (a|e) ∉ R₁  keine Transitivität vor. R1 wäre also keine Äquivalenzrelation.

Bei R₃ wären die Eigenschaften "reflexiv" [ (x|x) ∈ R₃ ], "symmetrisch" [ (x|y)∈R₃ -> (y|x)∈R₃ ] sowie "transitiv" [ (x|y)∈R₃ ∧ ((y|z)∈R₃  → (x|z)∈R₃ ] erfüllt, also wäre R₃ eine Äquivalenzrelation.

Gruß Wolfgang