C = U_(n€N) {(n,n+1) x (1/(n+1), 1/n)} ist eine Teilmenge von R^2

Question

folgende Teilmenge von R^2 soll auf Offenheit, Abgeschlossenheit und Beschränktheit untersucht werden! Hilfe..!!!

Comments

Offenheit, Abgeschlossenheit und Beschränktheit habe ich im mathematischen Sinne noch nie gehört. Was soll das heißen, dass eine Menge "Offenheit" hat?

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dass eine Menge offen ist, sprich nur Menge der inneren Punkte ist, sprich die Randpunkte sind nicht drin, aber keine Ahnung wie man das zeigt.

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Nun ja, da nimmt man sich halt einen Punkt aus der Menge

Sei c∈C

und zeigt dass c ein innerer Punkt ist (was immer innerer Punkt auch bedeuten mag).

Answer 1

~draw~ rechteck(1|0.5 1 0.5);rechteck(2|0.3333 1 0.16666);rechteck(3|0.25 1 0.083333);zoom(10) ~draw~

Die ersten 3 Mengen aus dieser Vereinigung sehen so aus, die Umrandungen gehören

nicht dazu, da es ja alles offene Intervalle sind.

Es ist also eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen, also selber auch offen.

Abgeschlossen nicht, da es zum Beispiel in jeder Umgebung von (1;1) einen Punkt von

C gibt, aber (1;1) nicht in C. Also ist das Komplement von C nicht offen,

d.h. C nicht abgeschlossen.

Beschränkt auch nicht, da es für jedes z >0 aus IR ein Element in C gibt, dessen

Norm größer als z ist.  Wähle (nach Archimedes) ein n > z und betrachte   x = (n+0,5 ;  1 / n+0,5)

und zeige ||x|| > z.