Gebrochenrationale Funktion ableiten. f(x) = (x-2)² / (x²+x-6)

Question

f(x) = (x-2)² / (x²+x-6)

Ich hätte jetzt oben ausmultipliziert und dann die Quotientenregel angewendet, ich will die Ableitung aber mal anders angehen. Ich kann ja nur den Zähler theoretisch sowohl mit der Produkt- als auch mit der Kettenregel ableiten, ich weiß nur nicht wie das in Kombination mit der Quotientenregel geht.

Wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! ;)

LG

Answer 1

Hier meine Ableitung über Produkt- und Kettenregel.

Die Ableitung stimmt. Und nun noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Comments

Wie in der Antwort von TR schon erwähnt, wird man kürzen können. Da sollte man besser nicht zu viel ausmultiplizieren. Ausklammern ist zielführender.

---

Danke Georg!

Die Ableitung von (x²+x+6)^-1 ist wie du sagst (-1)*(x²+x+6)^-2.

Wieso nimmt man hier nicht die Kettenregel oder besser gesagt wann muss ich die Kettenregel anwenden. Woran erkennt man das?

---

Die Ableitung von (x²+x+6)^-1 ist wie du sagst (-1)*(x²+x+6)^-2.

Das steht bei mir aber nicht.

[ ( x²+x+6)^-1 ] ´ = (-1) * ( x²+x+6)^-2. * ( 2 * x + 1 )

( term^a ) ´= a * term^{a-1} * term ´

Kettenregel anwenden. Woran erkennt man das?

Meist an einer vorhandenen Klammerung im Ausdruck

[ ( 4*x + 3 )^2 ] ´ = 2 * ( 4*x + 3 )^1 * ( 4 * x + 3 ) ´  = 2 * ( 4*x + 3 )^1 * 4 

Nachdem du die äußere Ableitung durchgeführt hast schaust du
nach ob der verbliebende Restterm auch noch abzuleiten geht.

[ ( ln ( x ) )^3 ] ´= 3 * ( ln ( x ) )^2 * ( ln ( x ) ) ´ = 3 * ( ln ( x ) )^2 * 1 / x

Damit du fit wirst rechnest du am besten die in Büchern
vorhandenen Übungsaufgaben.

Irgendwo im Internet gibt es " Ableitungsrechner ". Dort kannst du
deine Ergebnisse dann auch überprüfen.

---

Die normale Ableitung

z. B. f(x) = 4x³            f´(x)= 12x²

kann ich immer nur dann durchführen, wenn ich einzelne Summanden ableite und keine Klammer habe, oder?

---

Ja.

Prinzipiell kannst du die Kettenregel immer anwenden.
x ´ = 1

f ( x ) = 4 * x^3
f ´( x ) = 3 * x^2 * ( x )´  = 3 * x^2 * 1 = 3 * x^2

So und nun üben.

---

Ich muss dir nochmal kurz eine Aufgabe aus meinem Mathebuch zeigen.

y= 1 / (x²-1)

y´=-2x / (x²-1)

Ich muss hier doch nur die Quotientenregel anwenden. Da komme ich dann auf y´= -2x / (x²-1)²

Was ist denn richtig? Im Buch wurde zudem mit der Kettenregel gearbeitet, da blicke ich gar nicht durch gerade.

---

Kontrolliere dein Mathebuch mit einem verlässlichen Rechner.

Bsp. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+1+%2F+%28x²-1%29++

Du hast vollkommen Recht mit y´= -2x / (x²-1)²

---

y´= -2x / (x²-1)²

Ist die richtige Ableitung.

Bedenke : Keiner ist perfekt. Weder ich, noch du, noch sonst wer.

---

Das stimmt. Leider denken manche sie wären es.

Jedenfalls danke für die wie immer prompte Hilfe!

Answer 2

Statt ausmultiplizieren kannst du kürzen:

(x-2)² / (x²+x-6) = (x-2)/(x+3) = 1 - 5/(x+3)        , wobei x≠2.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x-2%29²+%2F+%28x²%2Bx-6%29++


Faktorisiere also erst mal
 (x²+x-6)  = (x-2)(x+3) 

Comments

Danke, aber wie gesagt ich möchte auch auf anderen Wege zur Ableitung kommen.

Wie würde die Ableitung funktionieren, wenn ich oben (x-2)² stehen lassen würde bei Anwendung der Kettenregel?

---

Da machst du dir zu viel Arbeit.

Einen Quotienten kannst du nicht (nur) mit der Kettenregel ableiten. Hier mal die Ableitung des Zählers.

g(x) =  (x-2)² 

g ' (x) = 2(x-2) 

Bei meinen oben vereinfachten Termen kannst du immer noch die Quotientenregel anwenden. 

---

Mit dem abgeleiteten Zähler 2(x-2) könnte ich jetzt theoretische die Quotientenregel anwenden?

---

Ja. Was lässt dich zweifeln?              

---

jf1122. Danke.

Simon_W: Nimm nun die Quotientenregel, vereinfache die Bruchterme und vergleiche dann deine Ergebnisse.

Wenn da nicht dasselbe rauskommt, machst du etwas falsch.