Gebrochenrationale Funktion ableiten: f(x) = (3x-1) /x^2

Question

Ich sollte diese funktion ableiten : (3x-1) /x^2

Ich gebe meine  Rechenschritte an: 1.( u' *v- u*v' ) / (v)^ 2

u' = 3

v´'= 2x                        (  (3) * (x)^2 - (3x-1)*2x ) / (x^2) ^2            / : ( jetzt tue ich ausmuliplizieren)

                      
Dabei erhalte ich : ( 3x^2-6x^2+ 2x)  / (x^2)^2     / zusammengefasst  sind dies : (-3x^2+2x) / (x^2^)^2

Aber ich mach irgendwo ein Fehler , da die richitge Lösung lautet : f' (x)=( -3x+2) / x^3

Ich bräuchte danach noch die zweite Ableitung davon , bitte alles etwas ausführlicher mit Zwischenschritte.

Answer 1

 -3x²+2x/ (x²^)² kannst du noch mit x kürzen

                1. x ausklammern und unten Potenzregel benutzen
=x(-3x+2)/x^4         |mit x kürzen

= (-3x + 2)/x^3

Die vorgegebene Lösung. Beachte aber, dass du eine riiiiiiiiiesen Umweg machst.

Comments

Hier dasselbe ohne Quotientenregel:

f(x) =  (3x-1) /x²

= 3x/x^2 - 1/x^2

=3/x - 1/x^2

= 3x^{-1} - x^{-2}

f ' (x) = -3x^{-2} - (-2)x^{-3}

= -3/x^2 + 2/x^3

= (-3x)/(x^3) + 2/x^3
= (-3x+2)/x^3

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Hört sich komisch an , aber ich kann bei deiner Schreibweise  den Schritt nicht nachvollziehen : du hast die x im Zähler und Nenner gekürzt , wenn vorhanden , aber danach schreibst  du : 3x^ -1 - x^-2 ( Wieso sind die Exponenten negativ ???? Danach verstehe ich wieder deine Vorgehensweise. Ich verstehe nur nicht wie die Exponenten negativ sind.

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a^{-n} = 1/a^n

Das ist die Definition für negative Exponenten, Die sind sehr nützlich, weil man so Brüche umgehen kann. 

Beachte die Regeln hier https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

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Ok , es ist so zu sagen die Umkehrfunktion

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Du kannst übrigens mit 'deiner' Quotientenregel einfach beweisen, dass

(x^{-n})' = (-n)*(x^{-n-1}) = -n/ (x^{n+1}) gilt, falls ihr diese Formel noch nicht bewiesen habt.

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Wie tue ich jetzt weiter verfahren ,wenn ich die obige Ableitung f' (x) noch mal ableiten soll.


Also um die zweite Ableitung zu bekommen ?

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f ' (x) = -3x^-2 - (-2)x^-3

= -3x^{-2} + 2x^{-3}

f '' (x) = -3(-2)x^{-3} + 2(-3)x^{-4}

= 6x^{-3} -6x^{-4}

= 6/x^3 - 6/x^4

= 6x/x^4 - 6/x^4

= (6x-6)/x^4

Kontrolliere hiermit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282-3+x%29%2Fx%5E3&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

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Ich hab es mit der schwierigen Variante versucht :

Dabei bekam ich : (-3) * (x^3) - (-3x+ 2) * 3x^2 / (x^3 ) ^2

Ausmulitiplizieren und zusammenfassen : -3x^3+ 9x^3- 6x^2 / ( x^3)^2

                           
Dies ergibt x^2 (6x-6) / (x^3)^2

Jetzt die Frage:  muss ich wenn ich kürze mit x^2 im Zähler , es wegkürzen mit dem Exponenten neben der Klammer im  Nenner ( ) ^2 oder (x^3)

wenn es (x^3 ) ist , dann bleibt im Nenner noch (x) ^2 übrig , Sry aber es geht mir nur ums wegkürzen .

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 x² (6x-6) / (x³)²

=  x² (6x-6) / (x⁶)
= (6x-6)/x^{6-2}
=(6x-6)/x^4

Beschäftige dich nun wirklich mal mit den Potenzgesetzen, auf die ich dich oben hingewiesen habe. Darf ja nicht sein, dass du deswegen deinen Test nicht bestehst. Vielleicht hast du ja auch das entsprechende Mathebuch noch im Schrank.

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Nach langem Überlegen bin ich auch auf den Gedanken gekommen die (x^3)^2 einfach dieExponenten zu multipliziieren und danach entsteht x^6 und - x^2 würde die richtige Lösung bringen :) x^4


Aber trotzdem "Danke"  an dich !!!! Habts soweit geschnallt !