Vollständige Induktion: Beweis einer Ungleichung

Question

ich habe eine Frage zu einem Induktionsschritt. Die Aufgabe ist es, per vollständiger Induktion zu beweisen, dass folgendes unter den Voraussetzungen x > -1 und x ungleich 0 sowie n ≥ n gilt: (1 + x)ⁿ > 1 + nx.

Der erste Schritt (IA) ist einfach. Man setze zwei ein, forme um und erhalte schließlich x² > 0. Die IB ist nun zu sagen, dass dies auch für alle Nachfolger n + 1 gilt.

Beim Induktionsschritt kann ich einfach n durch n+1 ersetzen und erhalte nun
(1 + x)ⁿ⁺¹ > 1 + (n+1)x,  und es folgt schon q.e.d, denn: 1 + nx < 1 + (n+1)x < (1 + x)ⁿ < (1 + x)ⁿ⁺¹.

In der Literatur habe ich einen anderen Weg der Umformung entdeckt, und zwar:
(1 + x)ⁿ > 1 + nx | *(1+x)
Nun folgt: (1 + x)ⁿ⁺¹ > (1+nx)(1+x)
Also: (1 + x)ⁿ⁺¹ > nx² + nx + x + 1
Daraus folgt der Autor: (1 + x)ⁿ⁺¹ > nx + x + 1 (Was nicht anderes als x(n + 1) + 1 ist.

Meine Frage: Wieso darf man hier nx² auf der rechten Seite weglassen?

Florian T. S.

Answer 1

dein IS ist falsch, da die Ungleichungskette

 1 + nx < 1 + (n+1)x < (1 + x)ⁿ < (1 + x)ⁿ⁺¹. 

im Allgemeinen falsch ist!

Der Beweis aus der Literatur ist ziemlich Standard für die Bernoulli-Ungleichung (wir können das Kind ja mal beim Namen nennen) und die Antwort auf deine Frage ist weil:  \( nx^2 > 0 \).

Das heißt ja in unserem schönen angeordneten Körper das "egal was " + nx^2 immer größer ist als "egal was" ;).

Gruß

Comments

Jetzt habe ich den Zusammenhang verstanden, denn da (1 + x)ⁿ⁺¹ > nx² + nx + x + 1 ist, ist auch (1 + x)ⁿ⁺¹ > nx + x + 1.

Dankeschön Yakyu :-)