Hallo ,
Ich habe ziemliche Schwierigkeiten eine DGL aus einer Textaufgabe aufzustellen,
Leider haben wir so was aehnliches nie in der Vorlesung gemacht und waere froh wenn mir jemand, Schritt für Schritt und einfach erklaeren koennte wie das geht.
(a) In einem einfachen Infektionsmodell wird die Infektionsrate \( I^{\prime}(t) \) proportional (Proportionalitätskonstante \( \alpha>0 \) ) zu den Kontakten zwischen den Infizierten \( (0 \leq I(t) \leq 1) \) und den nicht Infizierten einer Population \( (P=1) \) angenommen.
Stellen Sie die Differentialgleichung für das einfache Infektionsmodell auf und zeigen Sie, dass für den Anfangswert \( I(0)=I_{0} \)
$$ I(t)=1-\frac{1}{1+\frac{I_{0}}{1-I_{0}} \cdot e^{\mathrm{at}}} $$
das Anfangswertproblem löst. Wie sieht der Grenzwert fur \( t \rightarrow+\infty \) aus?
(b) In einem erweiterten Modell wird die Heilungsrate \( (\beta>0) \) berücksichtigt, die proportional zu den Infizierten ist.
Stellen Sie Differentialgleichung für das erweiterte Modell auf und zeigen Sie, dass für den Anfangswert \( I(0)=I_{0} \)
\( I(t)=\frac{(\alpha-\beta) I_{0}}{a I_{0}+\left(\alpha-\beta-\alpha I_{0}\right) \cdot e^{-(a-\beta) t}}, \alpha \neq \beta \)
das Anfangswertproblem löst.
Wie sieht der Grenzwert für \( t \rightarrow+\infty \) in Abhängigkeit von den Konstanten \( \alpha \) und \( \beta \) aus?
