Wie folgert man Aussagen aus der bernoullischen Umgleichung?

Question

ich muss aus der bernoullischen Ungleichung folgern, dass

(1+1/n-1)^{n-1} < (1+1/n)^n

Ich hab es schon versucht, aber ich komme einfach nicht weiter.

Eigentlich sieht das ja nicht schwer aus. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt ja, dass

(1+1/n)^n > 2, aber wenn ich dann folgere (1+1/n)^n ≥ 2 > (1+1/n-1)^{n-1}, dann passt das nicht, da 2 ja nicht immer größer ist als (1+1/n-1)^{n-1}. Wie muss ich so eine Aufgabe anfangen?

Wäre auch schon für Lösungsansätze sehr dankbar.

Answer 1

Hi, zu zeigen ist
$$ (1) \quad \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \le \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n  $$ das ist äquivalent mit
$$ 1-\frac{1}{n} = \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^{-1} \le \left( \frac{(n+1)(n-1)}{n^2} \right)^n = \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^n  $$

was wegen der Bernoullischen Ungleichung richtig ist.

Comments

Also ist

1+1/n = (1+1/(1-n))^-1 ≤ ((1+n)/(1-n))ⁿ = ((n+1)*(n-1)/(n-1)*(n-1))ⁿ =

((n+1)*(n-1)/n²+2n+1)ⁿ < ((n+1)*(n-1)/n²)ⁿ = (1-1/n²)ⁿ 

Habe ich das so richtig verstanden?

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Das versteh ich nicht. Der Anfang ist bei Dir doch schon falsch.

\( 1 + \frac{1}{n} \ne \left( 1 + \frac{1}{1-n} \right)^{-1} \)

\( \left( 1 + \frac{1}{1-n} \right)^{-1} = \frac{2-n}{1-n} \)

Und eigentlich musst Du nur meine Formeln ausrechnen und bestätigen.

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Oh Entschuldigung. Ich habe mich verschrieben.

Ich verstehe deine Ungleichung irgendwie nicht.

Wie kommst du auf

(1+1/(n-1))^-1 ≤ ((n+1)*(n-1)/n²)ⁿ 

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Hi, ich habe Gleichung (1) auf beiden Seiten durch \( \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^n \) dividiert und die rechte und linke Seite der Gleichung dann ausgerechnet.

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OK vielen Dank

Du rettest mich