Aufgabe zu Abbildungen im Bezug auf injektiv und surjektiv

Question

Es sei f: A → B eine Abbildung. Zu f definieren wir die Abbildung

f^-1: 2^B → 2^A , M ↦ { a ∈ A | f(a) ∈ M }

Für jedes M ⊆ B nennt man f^-1(M) das urbild von M (unter f).
a) Welche Bedingung muss f erfüllen, damit f^-1 injektitv ist?
a) Welche Bedingung muss f erfüllen, damit f^-1 surjektiv ist?

Kann mir da jemand weiterhelfen (mir ist klar was injektiv und surjektiv bedeutet)

Answer 1

a) f muss surjektiv sein.Wenn f nicht surjektiv ist, dann existiert ein b∈B mit b∉Bild(f). Dann ist f^-1(M∪{b})=f^-1(M\{b}).

zweites a) f muss injektiv sein. Beispiel. f(x)=x². Dann ist {1}∉Bild(f^-1), da 1∈M∈Bild(f^-1) ⇒-1∈M.

Comments

Danke für die Antwort, habe sie leider noch nicht ganz verstanden. Kannst du mir deine Antwort noch etwas verstänlicher geben?

Danke !!!

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Müsste f nicht bijektiv sein?

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Welche Schlussfolgerung hast du nicht verstanden?

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zu a) wenn f surjektiv ist, muss das ja noch nicht zwangsläufig bedeuten, dass f^-1 auch tatsächlich injektiv, sprich linkseindeutig ist, denn es könnte ja ein b (Element M) auf zwei a abgebildet werden, oder nicht?

Ausserdem komme ich mit deiner Schreibweise nicht ganz klar. Ist mir einfach noch nicht so geläufig.

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Ich habe nicht gezeigt, dass Surjektivität von f hinreichend für Injektivität von f^-1 ist. Ich habe gezeigt, dass Surjektivität von f notwendig für Injektivität von f^-1 ist. Ist f nämlich nicht surjektiv, dann haben die Mengen M∪{b} und M\{b} das gleiche Bild bezüglich f^-1, obwohl M∪{b}≠M\{b} ist.

Tatsächlich ist Surjektivität von f allerdings auch hinreichend für Injektivität von f^-1. Den Beweis dazu wollte ich dir überlasse, das ist eine einfache Gleichheit von Mengen.

Durch die Schreibweise muss man sich durchkämpfen, erst dadurch wird sie geläufig.

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Vielen Dank, ich glaube ich habe es jetzt verstanden und komme weiter.

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Warum muss f injektiv sein, damit  f^-1 surjektiv ist? Das verstehe ich nicht. Nehmen wir an, dass f(x) = x² und betrachten wir den Fall für x₁ = 1 und x₂ = -1. Dann f(x₁) = f(x₂) = 1   => 1 ∈ Bild(f). Dann ist aber f^-1(1) = {1, -1} oder? Denn hier geht es um eine Urbildabbildung und keine Umkehrabbildung. Ich mache keinen grossen Unterschied zwischen diesen beiden aber bin sicher das es doch einen gibt. 

Hängt die Surjektivität von f^-1 überhaupt von f? Denn f ist eine Abbildung also linkstotal und f^-1(M) das Urbild von M unter f. Kann jemand das erklären? 

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> Dann ist aber f^-1(1) = {1, -1} oder?

Genauer gesagt (mit anderen Zahlen) f^-1({4}) = {2, -2}. Aus der Menge {2, -2} entferne ich jetzt die -2 und frage mich, ob die so entstandene Menge {2} auch im Bild von f^-1 ist. Wäre f^-1 surjektiv, dann müsste sie es sein; es müsste also ein M existieren, so dass f^-1(M) = {2} ist.

Offesichtlich ist 4∈M, weil 2²=4 ist.

Wenn 4∈M ist, dann ist  -2∈f^-1(M) weil (-2)²=4 ist.

Das ist ein Widerspruch zu f^-1(M) = {2}.

Die fehlende injektivität von f(x)=x² sorgt also dafür, dass bestimmte Mengen nicht im Bild von
f^-1 auftauchen können.

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und wie Beweise ich dann, dass  f( f−1(M) Teilmenge von M ist?!?

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Warum ist das ein Widerspruch zu f^-1(M) ? Das verstehe ich nicht so gut. Könnten Sie das noch einmal erklären? 

f^-1(4) = 2 und f^-1(4) = -2  , also ist das hier das Problem? Wenn so ist, dann warum? Denn die Urbildabbildung liefert eine Menge und ich behaupten, dass f^-1(4) = ({2,-2}) und dann ist f^-1 auch surjektiv, obwohl f nicht injektiv ist.

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Sei m∈f( f⁻¹(M)). Dann existiert x∈f⁻¹(M) mit f(x)=m (laut Definition der Anwendung von Abbildungen auf Mengen).  Für dieses x existiert y∈M, so das f(x)=y (laut Definition der Anwendung von Abbildungen auf Mengen). Es gilt also m=f(x)=y∈M und somit m∈M.

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f^-1(4) = 2 stimmt nicht. f hat keine Umkehrfunktion, f^-1 macht also nur im Zusammenhang mit Mengen Sinn. Warum f^-1({4}) ≠ {2} ist habe ich oben erklärt.

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 >>  Aus der Menge {2, -2} entferne ich jetzt die -2 und frage mich, ob die so entstandene Menge {2} auch im Bild von f^-1 ist. 

Warum trennt man die Menge {2} von der Menge{2,-2}. Die Menge {2} liegt im Bild von f^-1 da 4 = 2² und die Menge {-2} liegt auch im Bild von f^-1 , da 4 = (-2)². Warum betrachten wir nur einen Fall und sagen, dass der Zweite zu einem Widerspruch führt. 

Sie müssen mich entschuldigen wenn Sie sich wiederholen aber beschäftige mit diesem Aufgabe schon seit Tagen und ich möchte es verstehen

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> Die Menge {2} liegt im Bild von f^-1 da 4 = 2²

Nein, tut sie nicht.

> Denn hier geht es um eine Urbildabbildung und keine Umkehrabbildung. Ich mache keinen grossen Unterschied zwischen diesen beiden aber bin sicher das es doch einen gibt. 

Genau diesen Unterschied muss man jetzt machen. Ich erinnere mal an die Definition der Urbildabbildung:

f^-1: 2^B → 2^A , M ↦ { a ∈ A | f(a) ∈ M }

Wähle M={4}. Dann ist gilt

f^-1(M) = { a ∈ A | f(a) ∈ M }

⇔ f^-1({4}) = { a ∈ A | f(a) ∈ {4} }

⇔ f^-1({4}) = { a ∈ A | a² ∈ {4} }

⇔ f^-1({4}) = { a ∈ A | a² =4 }

⇔ f^-1({4}) = { -2, 2 }

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Ok.

Komme nun hier einfach nicht weiter:

A sei ein Alphabet
a) Gesucht bijektive Abbildung f: A∗ → A∗, die nicht die identische
Abbildung A∗ → A∗, w |→ w, ist.


b) Gesucht ist Abbildung f: A∗ → A∗, so dass für jedes w ∈ A∗gilt: |f(w)| = 2^|w|· |w|^|w| gilt


c) Gesucht; Abbildung g: 2^A∗→ 2^A∗, so dass für jedes L ∈ 2^A∗ gilt: {|w| | w ∈ h(L)} = {3 · |w| | w ∈ L} gilt

d) Gesucht Abbildung h : 2^A∗→ 2^A∗ , so dass für jedes L ∈ 2^A∗und für jedes w ∈ A∗ gilt:
w ist Element von L genau dann, wenn w nicht Element von h(L).


Habe einfach keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll.

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Daraus solltest du eine neue Frage machen, es hat mit der aktuell besprochenen Frage nichts zu tun.