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Reihen zu Folgen: Konvergenz bzw. auf absolute Konvergenz?
Um die Konvergenz bzw. die absolute Konvergenz der gegebenen Reihen zu untersuchen, betrachten wir jede Reihe einzeln.
a) \( a_{n}=\left(\frac{1+i}{2}\right)^{n} \)
Für diese Folge ist es hilfreich, die komplexe Zahl \(\frac{1+i}{2}\) in ihre Polarform umzuwandeln. Die Polarform einer komplexen Zahl ist gegeben durch \(re^{i\theta}\), wobei \(r\) der Betrag der Zahl und \(\theta\) der Winkel mit der positiven x-Achse ist. Da \(1+i\) einen Betrag von \(\sqrt{2}\) hat, hat \(\frac{1+i}{2}\) einen Betrag von \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Weiterhin bildet \(1+i\) einen Winkel von \(\frac{\pi}{4}\) (45 Grad) mit der positiven x-Achse. Also ist die Polarform von \(\frac{1+i}{2}\) gleich \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)e^{i\frac{\pi}{4}}\).
Führen wir die Potenz \(n\) ein, ergibt sich:
\(a_{n} = \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{n} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} e^{i\frac{\pi n}{4}}.\)
Da der Betrag \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\) für \(n \rightarrow \infty\) gegen 0 konvergiert, könnte angenommen werden, dass die Folge \(a_n\) gegen 0 konvergiert. Jedoch variiert der Winkelterm \(e^{i\frac{\pi n}{4}}\), was zu einem oszillierenden Verhalten in der komplexen Ebene führt. Obwohl der Betrag der Zahlen gegen 0 geht, konvergiert die Reihe nicht in einem üblichen Sinne, da die Terme nicht gegen einen festen Punkt in der komplexen Ebene konvergieren, sondern weiter um den Ursprung "kreisen".
Absolute Konvergenz prüfen wir, indem wir uns den Betrag der Terme anschauen:
\(\left|a_{n}\right| = \left| \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n} \right| = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}.\)
Da \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\) für \(n\rightarrow \infty\) gegen 0 konvergiert, konvergiert die Reihe absolut.
b) \( a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} \)
Für diese Reihe können wir das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine Reihe der Form \(\sum (-1)^n b_n\), wobei \(b_n\) eine monoton fallende Folge von positiven Zahlen mit \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\) ist, konvergiert.
In unserem Fall ist \(b_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\), welches tatsächlich eine monoton fallende Folge ist, die gegen 0 konvergiert. Daher konvergiert die Reihe \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} \) nach dem Leibniz-Kriterium.
Für die
absolute Konvergenz betrachten wir den absoluten Betrag der Terme:
\(\left|a_{n}\right| = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\)
Die Harmonische Reihe \(\sum \frac{1}{n^{p}}\) konvergiert absolut für \(p > 1\). Da hier \(p=\frac{1}{3}\), was kleiner als 1 ist, divergiert die Reihe, und somit konvergiert die ursprüngliche Reihe nicht absolut.
c) \( a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n}} \)
Wir untersuchen die Konvergenz dieser Reihe:
\(a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n}}.\)
Da \(\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1\), nähert sich der Betrag der Folgenglieder \(|a_n| = \frac{1}{\sqrt[n]{n}}\) dem Wert 1 an. Die Zeichenwechsel alleine sorgen bei diesem Grenzwert der \(a_n\)-Werte nicht für Konvergenz der gesamten Reihe, da die notwendige Bedingung \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) für Konvergenz nicht erfüllt ist.
Bezüglich der
absoluten Konvergenz betrachten wir die Folge ohne das alternierende Vorzeichen, was uns \(\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\) zurücklässt. Da, wie oben erwähnt, dieser Ausdruck gegen 1 und nicht gegen 0 konvergiert, konvergiert die Reihe auch nicht absolut.
