Beschränkte monoton wachsende Folge mit 1/x als Grenzwert?

Question

Aufgabe: Sei x∈ℝ mit x>0. Zeigen Sie, dass dann auch 1/x ∈ ℝ ist, indem Sie eine beschränkte monoton wachsende Folge in ℚ finden, die 1/x als Grenzwert hat.

- Ich dachte anfangs, die Aufgabe ist einfach und wollte schon 1/x also Folge nehmen, aber 1/x ist ja selbst eine Nullfolge und hat damit Grenzwert 0 und nicht wie gefordert 1/x. 

- Das mit "beschränkt" ist schon erledigt, da 1/x mein Grenzwert sein soll

Ich weiß leider gar nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich vermute ich muss die Folge rekursiv bilden, aber das klappt irgendwie auch nicht. Kann mir da einer helfen ?

Comments

Üblicherweise werden die reellen Zahlen als vollständiger angeordneter Körper definiert. Dann gilt 1/x∈ℝ per Definition, da zu jedem x≠0 ein inverses Element existiert und Division als Multiplikation mit diesem Inversen aufgefasst wird.

Wie habt ihr die reellen Zahlen definiert? Dedekindsche Schnitte?

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Dedekindsche Schritte ? Sagt mir leider nichts.

Also in meinen Unterlagen steht: ℝ := {beschränkt monoton wachsende Folgen in ℚ} bzw.  kleinste Oberschranke für monoton wachsende Folgen in ℚ

Answer 1

Wenn Du eine monoton wachsende Folge rationaler Zahlen \( a_n \) hast, die gegen \( x \in \mathbb{R} \) konvergiert, dann gilt

\(  | a_n -x | < \epsilon \) für \( n > N \) und

Betrachte jetzt \( \left| \frac{1}{a_n} - \frac{1}{x}  \right| = \frac{ |x-a_n| }{ |a_n | | x | }  \)

\( \frac{1}{a_n} \) ist eine beschränkte Folge, also konvergiert \( \frac{1}{a_n} \) gegen \( \frac{1}{x} \)

Comments

Ich versteh das prinzip generell nicht. Könntest du mir das erklären?

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Da musst Du schon genauer sagen was Du nicht verstehst.

Du solltest Dir die Definition für Konvergenz anschauensowie den Satz, das eine beschränkte Folge multipliziert mit einer Nullfolge konvergiert.

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Ist denn 1/ a_n eine monoton wachsende Folge?

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und konvergiert 1/a_n nicht gegen 0 und nicht gegen 1/x?

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a_n= 1/x konvergiert gegen 0.

Aber oben wurde a_n ja gar nicht definiert. 

Es wird auch aus der Aufgabenstellung nicht klar, ob ich explizit eine Folge angeben muss. 

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Ja ja, ich sitze auch gerade an dem elend und hab keinen guten gedanken :( ob man da wohl irgendwie mit harmonischer reihe argumenteiren kann? bin auch bei den ganzen definitionen noch gar nicht so sicher...

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ganz ehrlich: keine Ahnung :D

das Skript ist solala. die Vorlesung ein einziges Chaos. die aufgaben hören sich zunächst machbar an, aber dann hängt man da hoffnungslos den ganzen tag ohne erfolg. 

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jau ich bau ehr auf sekundär literatur, in die vorlesung gehn halte ich auch für zeitverschwendung. naja die ganze frustration ist wohl gut für die charakterbildung ;) . aber das jammern bringt einen ja auch nicht weiter. ich setz mich jetzt nochmal dran, sonst ist morgen ja auch noch eine nacht... .

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also seit ich an der uni bin, hat sich mein Charakter glaube ich verschlechtert ! aber auch nur dank purer Verzweiflung!

ja dache auch anfangs literatur ist meine Rettung..tatsache ist: in allen Büchern steht dasselbe und auch nicht gerade anders, als es vielleicht im Skript ist. das war so irgendwann mein moment, wo die Verzweiflung angefangen hat. ->habe mich mittlerweile mit ihr abgefunden :)

hab aber zum Glück morgen frei, da werde ich es nochmal versuchen. mal gucken..

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hier http://matheraum.de/read?t=1065911&mrsessionid=7674f7aee67631687036ee3746c2922503d66fa1 wird das problem auch diskutiert, vielleicht hilfts

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eher mäßige Hilfe :D

steht auch nichts neues. da hat jemand quasi dasselbe hingeschrieben, wie hier. 

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Doch. Da steht, dass ihr Spezialisten mal genau angeben sollt, wie ihr \(\mathbb{R}\) definiert habt in der Vorlesung. Das solltet ihr mal machen, denn sonst kann auch niemand eine gescheite Antwort geben.