Xn+1 definiert durch f(xn) Zeige dass folgende Eigenschaften gelten:

Question

Sei a,b Element von  R mit a < b. Ferner sei f : [a, b] —> [a, b] mo-

noton wachsend und stetig.

Zeige, dass für beliebiges

x₀ in [a, b] die Folge (xn)neN definjert durch x_n+1 := f (x_n) folgende Eigenschaften

hat:

(a) (x_n) ist monoton (Fallunterscheidungl),

Da ja f monoton wachsend ist ist ja eigentlich klar dass xn auch monoton wachsend ist aber wie zeige ich das?

(b) (x_n) konvergiert gegen einen Grenzwert E e [a, b],

(c) es gilt f(E) = E

Kann mir jemand dabei Helfen oder vielleicht Tipps geben, dass ich zum Ziel komme?

Comments

Die Folge \((x_n)\) ist nicht notwendigerweise monoton wachsend.

Answer 1

zu a) hat dir der Gast ja schon einen Hinweis gegeben.

zu b): beschränkt und monoton, klingelt da was?

zu c): das folgt, da \(f\) stetig ist.

Gruß

Comments

Irgendwie kann ich mit diesen Tipps nicht viel anfangen, könnt ihr mir noch ein bisschen mehr auf die Sprünge helfen?

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Um mal einen Fall zu erwaehnen: Wenn \(x_0< f(x_0)\) ist, was folgt dann, wenn ich auf beiden Seiten noch mal \(f\) anwende? Usw.

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stimmt f(x0)<x0 oder was gibt f(f(x0))

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Laut Aufgabe ist \(x_1=f(x_0)\) und \(x_2=f(x_1)=f(f(x_0))\). Um wenn ich \(f\) 173x auf \(x_0\) anwende, dann kommt \(x_{173}\) raus.

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Okay das heisst wenn x₀<f(x₀) ist es monoton wachsend ud umgekehrt monoton fallend aber was ist es wenn x₀=f(x₀)?

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Zu b weiss ich nach einem Satz, dass jede monotone und beschränkte Folge (xn) konvergiert. Wie zeige ich aber, dass dieser Grenzwert im Intervall [a,b] liegt?

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Bei c.) verstehe ich nicht ganz wieso es aus der stetigkeit folgt?

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was ist es wenn x₀=f(x₀)?

In der Aufgabe steht nichts davon, dass die Monotonie streng sein soll.

Wie zeige ich aber, dass dieser Grenzwert im Intervall [a,b] liegt?

Wo soll er sonst liegen als zwischen den Schranken?

Bei c.) verstehe ich nicht ganz wieso es aus der stetigkeit folgt?

Sagt dir der Begriff der Folgenstetigkeit etwas?

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Gut a und b ist mir jetzt klar danke.

Ja wir haben die Stetigkeit mit via Folgenkriterium eingeführt.

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Aha, dann wende das doch einfach mal auf die Folge an.