wie lautet die funktionsgleichung der rekonstruierten gleichung?

Question

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinantensystems und hat den Tiefpunkt T (1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinantensystems und hat den Tiefpunkt T (1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung?

wegen Symmetrie f(x) = ax^3 + bx

f ' (1) = 0

f (1) = -2

Answer 2

Das geht schon so; aber ohne Schmuddeltricks geht bei mir ja gar nichts. Symmetrie - ja welche denn? Diktat für Regelheft, Schmierzettel und Formelsammlung.

  " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. Sie verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren WP. "

   Aha; der Ursprung ist also gleichzeitig WP . Eine Darstellung, bei der der WP direkt auf die Abszisse fällt, nenne ich natürliche Darstellung ( ND ) des Polynoms. Klar ist, dass wegen der Symmetrie die beiden Knoten in ND symmetrisch fallen müssen. Und zwar hast du zu den beiden Extrema immer eine feste Proportionalität:



     x3  -  x  (  w  )  =  [  x  (  max  )  -  x  (  w  )  ]  sqr  (  3  )    (  1a  )
  
     x  (  max  )  =  1  ===>  x3  =  sqr  (  3  )      (  1b  )

    f  (  x  )  =  k  x  [  x  +  sqr  (  3  )  ]  [  x  -  sqr  (  3  )  ]     =   (  2a  )

                 =  k  (  x  ³  -  3  x  )    (  2b  )

Comments

" Rekonstruierte Gleichung " . Ich kann auch Deutsch sprechen; nicht nur ihr mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum.
   Es heißt nicht " Rekonstruierte Gleichung ", sondern Steckbriefaufgabe.

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt T \((1|-2)\).

T \((1|-\red{2})\)→T' \((1|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2\)

\(f''(x)=a[(2x-2N)+(2x-2)+(2x-2)\)

symmetrisch zum Ursprung Wendepunkt W\(0|...)\):

\(f''(0)=a[(-2N)+(-2)+(-2)]=a[-2N-4]=0\)

\(N=-2\):

\(f(x)=a[(x-1)^2(x+2)]\)

W\((0|0)\)→W´\((0|2)\):

\(f(0)=a[(-1)^2\cdot 2]=2\)

\(a=1\):

\(f(x)=(x-1)^2(x+2)\)

\(p(x)=(x-1)^2(x+2)-\red{2}\)