Beweis mit ε − n0-Definition. Zeige: lim (4n^2 + n)/(3n^2 + 1) = 4/3

Question

Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mit Hilfe der \( \varepsilon-n_{0} \) -Definition der Konvergenz reeller Zahlenfolgen:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{2}+n}{3 n^{2}+1}=\frac{4}{3} \)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{5 n^{3}+3(-1)^{n}}=0 \)

c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}+2}{n} \neq-1 \)

Answer 1

etwa bei a ist zu zeigen:

Zu jedem eps > o gibt es ein no mit  n>no ⇒ | an - 4/3 | < eps

Dazu betrachtest du

| an - 4/3 | < eps

| (4n^2 + n ) / (3n^2 +1 )  - 4/3 | < eps  gem Nenner :

|3* (4n^2 + n ) / 3*(3n^2 +1 )  - 4* (3n^2 +1 )  / 3* (3n^2 +1 )  | < eps

|( 12n^2 + 3n   - 12n^2 +3 )  / 3* (3n^2 +1 )  | < eps

|(  3n   -  3 )  / 3* (3n^2 +1 )  | < eps      3 kürzen

|(  n   -  1 )  / (3n^2 +1 )  | < eps

Für n>1 sind Zähler und Nenner positiv, betrag fällt also weg .

(  n   -  1 )  / (3n^2 +1 )  < eps

Da n-1 < n ist, ist die Ungleichung sicherlich erfüllt, wenn

n   / (3n^2 +1 )  < eps     und der Nenner ist größer als 3n^2  also ist die

Ungleichung sicherlich erfüllt, wenn

n   / 3n^2  < eps

1 / (3n) < eps

1/eps < 3n

1/ (3eps) < n

Wenn also n größer als 1/(3eps) gewählt wird, ist die Ungl erfüllt,und

damit wäre no die nächste natürliche Zahl nach  1/ (3eps), und diese gibt es

nach dem Axiom des Archimedes.

(  3n   -  3 )  / 3* (3n^2 +1 )   < eps

Comments

Was besagt die letzte Ungleichung?

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Gar nix, hatte ich vergessen zu löschen.