Hier mal ein Versuch, die Betragsungleichung mit möglichst späten
Fallunterscheidungen und jeweils äquivalenten Umformungen zu lösen:$$(0)\quad -\frac{ 1 } { \left|x^2-1\right|} \ge -3 $$Offenbar sind beide seiten stets negativ, wir können also äquivalent umformen,
indem wir beide Seiten durch ihre negativen Kehrwerte ersetzen. Dies ergibt$$(1)\quad \left|x^2-1\right| \ge \frac 13 $$Dem Betrag entspricht nach seiner Definition:$$(2)\quad x^2-1 \le -\frac 13\quad\lor\quad x^2-1 \ge \frac 13 $$Diese reinquadratischen Ungleichungen vereinfachen wir zu$$(3)\quad x^2 \le \frac 23\quad\lor\quad x^2 \ge \frac 43 $$und lösen sie auf:$$(4)\quad x \le -\sqrt{ \frac 43 } \quad\lor\quad -\sqrt{ \frac 23 } \le x \le \sqrt{ \frac 23 } \quad\lor\quad \sqrt{ \frac 43 } \le x.$$
