Ungleichung 8(x-1)/x² < |3x - 3| + x - 1

Question

8(x-1)/x² < |3x - 3| + x - 1

x² ist immer positiv, darum betrachte ich dies nicht weiter.

D = alle x Element von R \ {0}

Fallbedingungen für den Betrag:

I. 3x-3 >= 0
    x > = 1

II. 3x-3 < 0
    x < 1

Bei Fall eins bekomme ich das richtige Ergebnis von (√2 ; +∞)
aber Fall zwei macht mir Schwierigkeiten, dort bekomme ich am Ende
als Ungleichung:

-4 > x²

Damit weiß momentan nichts anzufangen, habe ich eventuell etwas falsch gemacht?Jedenfalls kann ich hier ja nicht die Wurzel ziehen. Ich müsste bei diesem Fall zu folgendem Ergebnis kommen: (-∞ ; 1)

Answer 1

8 * (x - 1) / x^2 < |3x - 3| + x - 1

für (3x - 3 ≥ 0) bzw. (x ≥ 1)

8 * (x - 1) / x^2 < 3x - 3 + x - 1
8 * (x - 1) / x^2 < 4x - 4
8 * (x - 1) / x^2 < 4 * (x - 1)   | :4(x - 1)
2 / x^2 < 1
x^2 / 2 > 1
x^2 > 2
x > √2   | (x < -√2 ist nicht vereinbar mit der grundannahme)

für x ≤ 1

8 * (x - 1) / x^2 < -(3x - 3) + x - 1
8 * (x - 1) / x^2 < -3x + 3 + x - 1
8 * (x - 1) / x^2 < -2x + 2
8 * (x - 1) / x^2 < -2(x - 1)   | :2(x - 1) achtung 2(x - 1) ist negativ !
4 / x^2 > -1
Das ist ja immer wahr, da die linke Seite positiv ist.

Die Lösung ist hier x < 1oder x > √2