Weisen Sie nach, dass für alle n Element der Natülichen Zahlen folgendes gilt

Question

Weisen Sie nach, dass für alle n∈ℕ, n≥1 gilt: $$ \sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { q }^{ k } } =\frac { { q }^{ n }-1 }{ q-1 }  $$

Also ganz klar, hier ist das Beweisverfahren der vollständigen Induktion gefragt!
Aber irgendwie ist die Aufgabe so viel anders als der 'kleine Gauß', oder ähnliche Beweise, die ich bis jetzt Geführt habe.

Answer 1

viel will ich dir jetzt nich verraten, aber wenn du folgendes beachtest bist du auch schon so gut wie durch:

1. Setze n = 1 auf beiden Seiten und schaue was passiert.
2. Induktionsschritt: Setze für alle n ein n + 1 ein.

Grüße

Comments

Falls du nicht weiter weist mein Induktionsschritt:

∑^(n+1)-1_k=0 = (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1)

∑ⁿ_k=0 q^k = (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1)

Und zudem: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Bin nun erst einmal offline.

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Ah ja, dass macht auf jeden Fall Sinn!
Aber wie behandel ich das Summenzeichen? In dieser Form $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ x }  $$ ist es ja einfach, da ist es ja $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ x= } x+x+x+x+...+x=n*x $$

Aber so wie es da oben steht finde ich das eher irritierend. . . :(

Aber  danke für deine Hilfe <3

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Zuerst: ∑ⁿ_k=0 q^k = (qⁿ - 1) / (q - 1)

Dann: ∑^n-1_k=0 q^k + qⁿ = (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1) ("Man zieht das n aus der Summe heraus")

Dann ∑^n-1_k=0 q^k durch (qⁿ - 1) / (q - 1) ersetzen (Siehe oben, beides ist identisch!)

Dann folgt qⁿ + (qⁿ - 1) / (q - 1) = (qⁿ⁺¹ - 1) / (q - 1)

Der Rest sollte machbar sein, oder?

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Jaaaa. . . ich glaube das klingt logisch. . .

Ich versuche das mal komplett nach zu vollziehen, und dann melde ich mich morgen noch mal, ob es geklappt hat!

Answer 2

Basis für n=1:    \(\sum\limits_{k=0}^{0} q^k\) = q⁰ = 1 = (q¹ - 1) / (q-1) ist wahr

Sei n∈ℕ beliebig aber fest:

Induktionsschluss:    \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k\) = (qⁿ - 1) / (q-1) ⇒ \(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k\) = (qⁿ⁺¹- 1) / (q-1)

Nachweis:

\(\sum\limits_{k=0}^{n} q^k\)  =  \(\sum\limits_{k=0}^{n-1} q^k\)  + qⁿ  =_IV  (qⁿ - 1) / (q-1) + qⁿ 

=  [ qⁿ - 1 + qⁿ • (q-1) ] / (q-1) 

=  [ qⁿ - 1 + qⁿ⁺¹ - qⁿ ]  /  (q-1)

=  [ qⁿ⁺¹ - 1 ]  / (q - 1)

Gruß Wolfgang

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Danke für die Hilfe, insgesamt sollte ich das jetzt auch auf die reihe kriegen, danke! :D