Weisen Sie nach, dass sup(M∩N) existiert

Question

bei meinen Übungen hapert es irgendwie an folgender Aufgabe:

Es seien M, N nach oben beschränkte Teilmengen von ℝ mit M∩N ≠∅. Weisen Sie nach, dass sup(M∩N) existiert und sup(M∩N) ≤ min{sup M, sup N} gilt.

Geben Sie ein Beispiel für sup(M∩N) ≠ min{sup M, sup N}

Ich würde ja gerne meinen Ansatz aufschreiben, aber so wirklich habe ich keinen x'D
Ich wäre euch dankbar für eure Hilfe~

Niyori

Comments

Es seien M, N nach oben beschränkte Teilmengen von ℝ mit M ∩ N = ∅.

war das vielleicht  M ∩ N ≠ ∅. ??????????

Answer 1

\(M \cap N \) ist nach oben beschränkt, denn \(\sup(M)\) und \(\sup(N)\) sind jeweils 2 obere Schranken. Somit ex. also das Supremum der Menge \(\sup(M \cap N)\) und da dies nach Definition die kleinste obere Schranke ist, gilt direkt die Ungleichung aus der Behauptung.

Ein Beispiel darfst du dir selber ausdenken, verwende dazu  2 endliche Mengen die sich vorteilhaft überschneiden.

Gruß

Comments

Naja, dass es existiert ist mir klar, dass sagt die Aufgabe ja schon mehr oder minder aus. Aber wie soll ich das denn beweisen? Da fehlt mir irgendwie das wissen, oder so :/

ich hatte überlegt, wir hatten in der Vorlesung ein Bespiel, wo wir einen 'Zahlenstrahl von ℝ' genommen hatten, und dort halt sup(M) und sup(N) eingezeichnet hatten. hilft mir das weiter? x'D

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Das was ich dir geschrieben habe ist doch der Beweis. Beispiel:

$$ \forall x \in M \cap N : x\in M \Rightarrow x \leq \sup(M) \Rightarrow M \cap N \text{ nach oben beschränkt } $$

Das jede nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen ein Supremum besitzt habt ihr doch hoffentlich schon behandelt. Daraus folgt dann auch die Existenz.

Was die Skizze betrifft: Wenn es deinem Verständnis hilft, dann klar. Ist ja im grunde nur eine Visualisierung von dem was ich da mit Worten beschrieben habe.