Die Frage ist immer: Von welchen Voraussetzungen willst du ausgehen? Ich war Mitarbeiter in der ===> CAD eines Welt-Elektronikkonzerns; mein Chef wollte wissen
" Herr Dr; wie berechnet man den Flächeninhalt von Lötaugen ( n-Ecken ) ? "
" keine Ahnung "
" Ich wollte ja auch nicht gesagt haben; spucken Sie die fertige Lösung aus. Wenn ich das selber könnte, braucht ich ja Sie nicht. Schaunse einfach mal aus dem Fenster; Ihnen fällt bestimmt was ein ... "
Stell dir vor, du hast ein 4 711-Eck; ein " Tetra-Chilia- Heptakosia-Endekagon " Das Verfahren ist immer das nämliche. Ausgehend von einem angenommenen Nullpunkt ( " Polarkoordinaten " ) ( der durchaus im Andromedanebel beheimatet sein kann; du ich hab das nummerisch getestet ) tust du die Figur in Dreiecke zerlegen. Bei dir ist es z.B. das Viereck ABCD . Wichtig ist nur zweierlei: Die Figur muss eben sein und ===> orientierbar. ( so besitzt ja bekanntlich jedes Dreieck einen Drehsinn; aber es gibt durchaus Vierecke, die wie " Schwalbenschwänze " anmuten; sog. " überschlagene " vierecke. )
Diese Teildreiecke tust du berechnen mit ===> Kreuzprodukt. Die Richtung des Produktvektors gibt ja gleichzeitig auch die Orientierung der Fläche im raum wieder; das Erstaunliche ist nun, dass die Definition des Kreuzprodukts ===> selbstkonsistent ist. Hier herrscht ===> Superposition; die Summe aller Teilvektoren steht senkrecht auf dem resultierenden n-Eck und gibt dir die Fläche zurück. D.h. seit Erfindung des Kreuzprodukts kannst du die ganzen Formelsammlungen getrost in den Ofen schmeißen, wo mit Falluinterscheidungen z.B. alle möglichen Typen von Vierecken durch gerechznet sind. Es gibt nur DEN einen Fall . . .
Du im Telekolleg hatten die mal einen Lehrer; der sprach Wetterauer Platt
" Ein Pohrlällokramm is ein Wiereck mit zwou pohrweiße pohrlällen Kerohten ... "
Also du gehst aus von den Ecken ABCD ; in Ziffer a) sind diese definiert
A := 0 ; B := x ; C := x + y ; D := y ( 1a )
Hier das find ich gar nicht schön; in der Aufgabenstellung erscheint nämlich die Reihenfolge der Ecken gegenüber ( 1a ) vertauscht. Bitte mach dir klar, dass mein ( 1a ) einem geschlossenen Linienzug entspricht; folgst du dagegen den Schritten in der Aufgabe, hat die Figur eine Überkreuzung, was verboten ist. Genau das meinte ich.
Außerdem ist das doch total verwirrend; Vektoren sollten immer u und v heißen. Die Buchstaben x und y könnte man doch mit kartesischen Koordinaten verwechseln.
Jetzt wollte ich dir aber den Effekt vorführen, dass sich der Ursprung O des Achsenkreuzes heraus kürzt:
A ' := O + A ; B ' := O + B ; C ' := O + C ; D ' := O + D ( 1b )
Du hast eine Zerlegung in vier Teildreiecke
O A ' B ' ; O B ' C ' ; O C ' D ' ; O D ' A ' ( 1c )
Für diese Teildreiecke finden wir gemäß ( 1ab )
F ( O A ' B ' ) = 1/2 A ' X B ' = 1/2 O X ( O + x ) = ( 2a )
= 1/2 O X x ( 2b )
F ( O B ' C ' ) = 1/2 B ' X C ' = 1/2 ( O + x ) X [ O + ( x + y ) ] = ( 3a )
= 1/2 ( O + x ) X [ ( O + x ) + y ] = ( 3b )
= 1/2 ( O + x ) X y = ( 3c )
= 1/2 O X y + 1/2 x X y ( 3d )
In ( 3b ) wurde vom ===> Assoziativgesetz Gebrauch gemacht, weil ja beim Kreuzprodukt immer gilt a X a = 0 ( warum? ) , was dann die Anwendung des ===> Distributivgesetzes ( DG ) erheblich erleichtert. Wir fassen ( 2b ) und ( 3d ) zusammen
F ( O A ' B ' ) + F ( O B ' C ' ) = 1/2 O X ( x + y ) + 1/2 x X y ( 3e )
F ( O C ' D ' ) = 1/2 [ O + ( x + y ) ] X ( O + y ) = ( 4a )
= 1/2 [ x + ( O + y ) ] X ( O + y ) = ( 4b )
= 1/2 x X ( O + y ) = ( 4c )
= 1/2 x X y - 1/2 O X x ( 4d )
In ( 4d ) lernen wir abermals etwas Neues; das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern ===> antikommutativ.
a X b + b X a = 0 ( 5a )
Es gibt zwei Grund verschiedene Weisen, dies einzusehen. Zum Einen ist da die ===> Dreifingerregel der rechten Hand ( Rechte-Hand-Regel ; RHR )
c := a X b ( 5b )
1) Der Daumen der rechten Hand muss in Richtung von Faktor a weisen.
2) der Zeigefinger in Richtung von Faktor b
3) Dann zeigt der Mittelfinger in Richtung von c .
( Hätten die Stittelmürmer beim Bußfall nur etwas mehr matematische Building, so hätten sie die Ausrede parat, sie wollten gerade das " Kreuzprodukt " berechnen . . . )
Wesentlich überzeigender finde ich aber eine abstrakt algebraische Argumentation. Wir hatten gesagt, das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst verschwindet.
( a + b ) X ( a + b ) = 0 ( 6a )
Zur Anwendung kommt wie üblich das DG ; ( 6a ) vereinfacht sich weiter
a X a + a X b + b X a + b X b = 0 ( 6b )
a X b + b X a = 0 ===> Beh ( 6c )
Damit taucht aber in ( 4d;5a ) ein gänzlich neues Problem auf; um die Ergebnisse Vorzeichen richtig zu bekommen, wollen wir beim Kreuzprodukt ===> lexikalische Reihenfolge der Faktoren verabreden.
( 3e;4d ) zusammen fassen
F ( O A ' B ' ) + F ( O B ' C ' ) + F ( O C ' D ' ) = 1/2 O X y + x X y ( 7a )
F ( O D ' A ' ) = 1/2 ( O + y ) X O = - 1/2 O X y ( 7b )
F ( ges ) = x X y ( 7c )
Du siehst; O hebt sich tatsächlich heraus. Ist dieses Ergebnis plausibel? Ja; denn für die Fläche des Parallelogramms gilt
F = | x X y | = | x | | y | sin ( x ; y ) ( 8a )
Ich sagte ja schon; Vektoren sollte man niemals x oder y nennen. Sagen wir u und v .
u := ( u1 | u2 | 0 ) ; v := ( v1 | v2 | 0 ) ( 8b )
Du sollst dir also vorstellen, u und v liegen in der x/y-Ebene. Dann wird ihr Kreuzprodukt x X y wohl nur eine z-Komponente enthalten; zu beweisen: Diese z-Komponente ist iNdentisch mit ihrer Determinante.
Zu b) Denke einfach vom Kreuzprodukt her; das ist ja ein Vektor. Und in ( 8b ) hatten wir gesagt, dieser Vektor zeigt in z-Richtung. Man kann sich das anschaulich gut verfegenwärtigen mit der Rechte-Faust-Regel. Die zur faust geschlossenen Finger der rechten Hand beschreiben den Drehsinn, in welchem Fläche ( 8b ) umfahren wird; der aus gestreckte Daumen gibt dir dann die Richtung des Kreuzprodukts
( " Daumen hoch oder runter " )
Wenn du jetzt die dritte Dimension z unterdrückst, bleibt dir nur noch das Vorzeichen der Determinante.
( max Zeichen )
