Disjunkte Vereinung von Teilmengen:

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

"Die Menge M ist die disjunkte Vereinigung der Teilmenge [x] ⊂ M für x ∈ M, es gilt also
 .
∪ _[x]∈M/~ [x]." (Die disjunkte Vereinigung soll ein großes Zeichen sein!).

Zur Information: M sei eine Menge und ~ eine Äquivalenzrelation auf M. [x] ist die Äquivalenzklasse von x ∈ M bezüglich ~.

Kann mir jemand hier einen Ansatz geben, wie ich das lösen kann?

Comments

Wäre es sinnvoll zu sagen:

"Keine Äquivalenzklasse ist leer, da x ∈ [x] gilt und jedes Element x ∈ M in einer Äquivalenzklasse liegt. Weiterhin gilt, dass zwei Äquvialenzklasse gleich oder disjunkt sind".

q.e.d?

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Fehlt da nicht ein "=M" ? Also in der Frage.

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Ups, ja M = ...  [disjunkte Vereinigung]

Answer 1

Sei m ∈ M. Dann ist m ∈ [m] wegen der Reflexivität von Äquivalenzrelationen. Jedes m ∈ M liegt also in mindestens einer Äquivalenzklasse. Insbesondere ist auch ⋃_m∈M [m] = M.

Sei m ∈ [x] und m ∈ [x']. Dann ist m~x und m~x'. Wegen der Symmetrie von Äquivalenzrelationen ist dann auch x~m. Wegen der Transitivität von Äquivalenzrelationen ist mit x~m und m~x' auch x~x'. Also ist [x] = [x']. Jedes m ∈ M liegt also in höchstens einer Äquivalenzklasse. Insbesondere ist die Vereinigung ⋃_m∈M [m] eine disjunkte Vereinigung.