Die Aufgabe lässt sich vektorgeometrisch lösen. Bitte Vektorpfeile ergänzen und Vektoren in Spalten schreiben.
1.
dim U = 2.
Da x-y-2z= 0. Eine Ebenengleichung ist, die durch P(0/0/0) geht. Normalenvektor n=(1,-1,2).
Parametergleichung z.B: E: r= u(1/1/0 + v(0/0/1)
Habe hier einfach 2 Ortsvektoren von Punkten auf E eingesetzt, da die Ebene durch den Koordinatenursprung geht.
dim W = 1.
W ist Schnittmenge 2er sich schneidender Ebenen, die beide durch P(0/0/0) gehen.
x= x+z → z=0 : xy-Ebene
x= 2y. Ebene parallel zur z-Achse durch P(0/0,0) und Q(2/1/0)
Parametergl. von W (Schnittgerade) r= t(2/1/0)
2. U n W
Aus Schnittgerade x=2t, y=t und z=0 in Ebenenglg. einsetzen
x - y - 2z = 0 → 2t - t -0 =0 → t=0
in Parametergl. von g einsetzen → P(0/0/0)
Also U n W = {P(0/0/0)}. Dimension: 0
dim (U 'plus' W) = dim U + dim W - dim (U n W) = 2 + 1 - 0 = 3. Somit IR^3. q.e.d.
Probe Determinante der Richtungsvektoren ist ≠ 0:
Det (2 1 0 ) 2 1= 2-1 = 1≠ 0. q.e.d.
1 1 0 1 1
0 0 1 0 0