Dimension zweier Teilmengen von R³ bestimmen?

Question

Aufgabe:

Seien U und W die folgende Teilmengen \( \mathbb{R}^{3}: \)
$$ \begin{aligned} U &=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} | x-y-2 z=0\right\} \\ W &=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} | x=2 y=x+z\right\} \end{aligned} $$
1. Berechnen Sie dim \( U \) und dim \( W \)
2. Berechnen Sie \( U \cap W \) und zeigen Sie, dass \( \mathbb{R}^{3}=U \oplus W \)

Ich muss dimW und dimU Berechnen. Steh aber bei der Aufgabe auf dem Schlauch.

Einfach davon ausgehen das dimU und W = 3 wegen R³ ist ja falsch oder?

Hat jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe?

Comments

Hat jemand eine Lösung, die nicht auf Ebenengleichungen… aus der Schule beruht?

Soll eine LA - Aufgabe sein.

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Zur Teilmenge W:

Man kann ja leicht zeigen das z = 0 ist.

Dann ist x = 2y  man hat dann (2y , y , 0) (bitte als Vektor sehen) und mit diesem Vektor kann man doch nun Alle anderen mit der genannten Eigenschaft aus W darstellen also dim = 1. Würde das genügen und dementsprechend wohl auch für U ?!

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x - y - 2z = 0

ist eine 1*3- Matrix 'mal' Vektor (x/y/z) = 0

                     x

(1 -1    -2)*( y )  = 0

                     z

 

Alternativ Matrix mit 2 Nullzeilen * Vektor (x/y/z) = Nullvektor

 

 0    0     0      x         0

(1 -1    -2) * ( y )  = (0)

  0   0     0     z           0

Ob das bei euch LA ist, kann ich leider nicht beurteilen.

Answer 1

Die Aufgabe lässt sich vektorgeometrisch lösen. Bitte Vektorpfeile ergänzen und Vektoren in Spalten schreiben.

1.

dim U = 2.

Da x-y-2z= 0. Eine Ebenengleichung ist, die durch P(0/0/0) geht. Normalenvektor n=(1,-1,2).

Parametergleichung z.B: E: r= u(1/1/0 + v(0/0/1)                    

Habe hier einfach 2 Ortsvektoren von Punkten auf E eingesetzt, da die Ebene durch den Koordinatenursprung geht.

 

dim W = 1.

W ist Schnittmenge 2er sich schneidender Ebenen, die beide durch P(0/0/0) gehen.

x= x+z → z=0        : xy-Ebene

x= 2y.                   Ebene parallel zur z-Achse durch P(0/0,0) und Q(2/1/0)

Parametergl. von W (Schnittgerade) r= t(2/1/0)

 

2. U n W

Aus Schnittgerade x=2t, y=t und z=0 in Ebenenglg. einsetzen

x - y - 2z = 0 → 2t - t -0 =0 → t=0

in Parametergl. von g einsetzen → P(0/0/0)

Also U n W = {P(0/0/0)}. Dimension: 0

dim (U 'plus' W) = dim U + dim W - dim (U n W) = 2 + 1 - 0 = 3. Somit IR^3. q.e.d.

 

Probe Determinante der Richtungsvektoren ist ≠ 0:

Det (2   1  0 ) 2 1= 2-1 = 1≠ 0. q.e.d.

        1    1  0  1  1

        0    0   1 0 0

 

Comments

könntest du das bitte einmal detaillierter erklären?

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@Anonym: Was meinst du mit 'das' erklären?

Stammt die Aufgabe überhaupt aus der Vektorgeometrie? Kennst du Parametergleichungen von Geraden und Ebenen und die Koordinatengleichung von Ebenen im Raum?

Weisst du, was im 3-dim. ein Skalarprodukt ist?

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Gibt es eine nicht-vektorgeometrische Lösung aus der Linearen Algebra?

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Die Definitionen von Ebenengleichung Schnittgeraden Parametergleichung hatten wir in LA noch nicht. Es sei denn es wird halt Vorausgesetzt da man dies ja schon in der Schule hatte.

Kriegt man dies denn noch anders gelöst?