Ist meine Bruchsungleichung richtig?

Question

Abend,

habe Probleme bei einer Bruchsungleichung. Ich weiß nicht, ob die Lösungsmenge richtig ist.

Hier die Ungleichung:

x+3 / (x+1) ≤ (x-4) / (x-1)

Habe die Lösungsmenge mittels Fallsunterscheidung ermittelt.

Beim 1. Fall (x+1)(x-1) ≥0 habe ich x≤ - 1/5 erhalten.

Beim 2. Fall (x+1)(x-1) <0 habe ich x≥ - 1/5 erhalten.

Was ist nun die Lösungsmenge? Habe ich einen Fehler gemacht?

Ich habe (x-4)/(x-1) auf der rechten Seite gelassen und beide Seiten mit  (x+1)(x-1) multipliziert.

Deswegen die Fallunterscheidung.

Bei beiden Seiten kürzt sich jeweils der Nenner. Ist mir hier schon ein Fehler unterlaufen? Muss ich zuerst beide auf die gleiche Seite bringen und schließlich erweitern?

Comments

x+3 / (x+1) ≤ (x-4) / (x-1)

es soll bestimmt so heißen

( x+3 ) / (x+1) ≤ (x-4) / (x-1)

?

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Oh sorry, Ja genau. Ich habe aber auch mit (x+3) gerechnet .

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Meine Schritte:

Multipliziert mit (x+1)(x-1) (auf beiden Seiten natürlich)

Da ich aber nicht weiß, ob (x+1)(x-1) negativ oder positiv ist, habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.

Fall 1:  (x+1)(x-1) ≥0  <=>  x > -1 , x> 1 , dann gilt :

(x+3)(x-1) ≤ (x-4)(x+1)

x²+2x-3 ≤ x²-3x-4

5x -3 ≤ -4

5x ≤ -1

x ≤ -1/5

Fall 2:  (x+1)(x-1) <0 <=> x < -1 , x<1

(x+3)(x-1) ≥ (x-4)(x+1)

x²+2x-3 ≥ x²-3x-4

5x-3≥ -4

5x ≥-1

x ≥ -1/5

So bin ich auf meine Lösungen gekommen.

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Bei dir sind einige Fehler vorhanden.

Fall 1:  (x+1)(x-1) ≥0  <=>  x > -1 , x> 1

(x +1 ) * ( x -1 ) ist ≥ 0 falls beide Faktoren positiv oder negativ sind.
Die 2.Möglichkeit hast du noch nicht bedacht.

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x ≤ -1/5

Dein Ergebnis mußt du mit deiner Eingangsvoraussetzung vergleichen.
( x > -1 ) und ( x > 1 )  =>  x > 1

( x > 1 ) und ( x ≤ -1/5 ) = { }
keine Schnittmenge.

Mich hat jemand auf einen Fehler bei meinen Überlegungen aufmerksam gemacht
deshalb stelle ich eine neue Antwort ein.

Answer 1

Ich habe erweitert

Was du genau berechnest hast oder wie du vorgegangen bist erschließt
sich mir noch nicht.

Wenn wir den genauen Fehler finden wollen müßtest du noch
deine Schritt-für-Schritt Umformungen einstellen.

Comments

"Nenner kann entfallen"

Mit welcher Begründung?

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Korrektur : Hier meine Berechnungen

Die 3 Lösungsbereiche oberhalb der Kästchen könnte man auf
einem Zahlenstrahl  einzeichnen um zu sehen wie man
auf die Werte im Kästchen kommt.

mfg Georg